wektory, studia

[Szubii]

Jeśli \(\displaystyle{ v_1=[1,5,-1]}\), wektor \(\displaystyle{ v_1 \times v_2}\) ma długość \(\displaystyle{ 18}\) oraz kąt między wektorami \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{2 \pi }{3}}\), to

a) wektor \(\displaystyle{ \vec{v_2}}\) ma długość \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}}\);

b) wektor \(\displaystyle{ \vec{v_2}}\) ma długość \(\displaystyle{ 4}\);

c) pierwsza współrzędna wektora \(\displaystyle{ \vec{v_2}}\) może być równa \(\displaystyle{ 4}\);

d) wektor \(\displaystyle{ \vec{v_1}}\) ma długość \(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}}\).

Pomocy! Wiem na pewno, że punkt d będzie prawidłowy.
jak resztę wyprowadzic?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left| \vec{v_1} \times \vec{v_2} \right| =\left| \vec{v_1} \right| \left| \vec{v_2} \right| \sin\left\{ \vec{v_1}, \vec{v_2} \right\}}\)
\(\displaystyle{ 18= \sqrt{27} \left| \vec{v_2} \right|\sin \frac{2 \pi }{3} \\
18=3 \sqrt{3} \left| \vec{v_2} \right|\sin \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
\left| \vec{v_2} \right|=4}\)

[Szubii]

\(\displaystyle{ \vec{v_2} \rightarrow \left[ 4,0,0\right] \\
\left| \vec{v_2} \right| = \sqrt{ 4^{2}+ y^{2} + z^{2} }}\)


pytanie: czy pierwsza współrzędna może wynosić \(\displaystyle{ 4}\)?

[kerajs]

Oczywiście że nie.
Tylko wektor \(\displaystyle{ [4,0,0]}\) ma pierwszą współrzędną 4 i długość 4, jednak jego kąt ze znanym wektorem jest inny niż podany w treści zadania. Łatwo to pokażesz z iloczynu skalarnego.