Pole równoległoboku - odległość punktu od prostej

[419862391432]

Punkty A, B są punktami przecięcia prostej \(\displaystyle{ y= \frac{3}{5} x-6}\) z osiami układu współrzędnych. Oblicz pole równoległoboku ABCD, którego wierzchołek D ma współrzędne \(\displaystyle{ (1,4)}\).

Czy popełniłem gdzieś błąd? Bo wynik wyszedł nieładny jak na ćwiczenie z podręcznika.

\(\displaystyle{ A=(0,-6), B=(4,0), C=(-3,-2), D=(1,4)}\)
\(\displaystyle{ P=\left| AB\right| \cdot d}\)
\(\displaystyle{ \left| AB\right| =2 \sqrt{13}}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{49 \sqrt{34} }{34}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{49 \sqrt{442} }{17}}\)

[Dilectus]

Pokaż, jak liczyłeś.-- 12 lis 2018, o 21:45 --Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swych długości. A jeśli tak, to punkt \(\displaystyle{ C}\) ma współrzędne ........

[419862391432]

Tak to policzyłem:
\(\displaystyle{ \vec{AB} =\left[ 4,6\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CD} =\left[ 1-x,4-y\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}4=1-x \\ 6=4-y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=-3}\)
\(\displaystyle{ y=-2}\)

[piasek101]

Czy popełniłem gdzieś błąd? Bo wynik wyszedł nieładny jak na ćwiczenie z podręcznika.
\(\displaystyle{ B=(4,0)}\)

A to skąd ?

[Dilectus]

Zacytuję sam siebie:

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swych długości.

Dodam jeszcze, że przekątne równoległoboku są wzajemnie prostopadłe.

[piasek101]

Są dwa takie równoległoboki.

Skoro znasz wektory to pole od razu z odpowiedniego wzoru z nimi.

[edit]

Dodam jeszcze, że przekątne równoległoboku są wzajemnie prostopadłe.

Czasami tak się zdarza - ale na to bym nie liczył (patrz pierwsze zdanie tego posta).
[edit1] W zadaniu nie występuje w żadnym z równoległoboków.

[419862391432]

Czyli \(\displaystyle{ B=(10,0)}\) i można policzyć tym sposobem, że wektor \(\displaystyle{ AB}\) jest równy wektorowi \(\displaystyle{ CD}\)?

\(\displaystyle{ \vec{AB} =\left[ 10,-6\right] \\
\vec{CD} =\left[ 1-x,4-y\right] \\
\begin{cases} 10=1-x \\ -6=4-y \end{cases}\\
x=-9 \\
y=10}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ B}\) teraz ok - ale są takie dwa równoległoboki więc to może być też \(\displaystyle{ A}\).

Zrób szkic.
Zobaczysz, że \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}\) (a nie CD jak robisz i masz źle).

Co do rozwiązania zadania - potrzebne Ci tylko dwa wektory (ich współrzędne) wychodzące z jednego wierzchołka.
Pole równoległoboku to wyznacznik (wartość bezwzględna) z tych wektorów.