Wyznacz figurę, która jest zbiorem środków cięciw paraboli \(\displaystyle{ y= x^{2}-1}\) przechodzących przez początek układu współrzędnych.
Rozpocząłem rozwiązywanie tego zadania:
Proste, które przechodzą przez P(0,0) są postaci \(\displaystyle{ y=ax}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\). Ta druga prosta nie wyznaczy nigdy cięciwy paraboli. Pora na wyznaczenie punktów wspólnych prostej \(\displaystyle{ y=ax}\) i paraboli. Wychodzi równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2} -ax-1=0}\), którego \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
Nie mam już pomysłu - co zrobić dalej?
Wyznaczanie figury.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 10 paź 2018, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 10 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Wyznaczanie figury.
Ja zacząłbym od rysunku: krzywa zadana, kilka cięciw i punkty je połowiące, szkic liniii "leżącej na tych punktach połowiących".
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 10 paź 2018, o 16:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 10 razy
Re: Wyznaczanie figury.
Temat do zamknięcia; wpadłem na ciąg dalszy rozwiązania. Przedstawię je dla potomności, może komuś się kiedyś przyda. Mamy więc funkcję kwadratową \(\displaystyle{ x^{2}-ax-1=0}\). Szukamy środka przecięć cięciw, a więc szukamy \(\displaystyle{ \frac{ x_{1}+x_{2} }{ 2 }}\). Wykorzystując wzór Vieta podana równość wynosi \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\), wtedy \(\displaystyle{ \frac{ y_{1}+y_{2} }{2}= \frac{ a^{2} }{2}}\).
Szukana figura składa się z punktów postaci \(\displaystyle{ ( \frac{a}{2}, \frac{ a^{2} }{2}).}\)
Szukana figura składa się z punktów postaci \(\displaystyle{ ( \frac{a}{2}, \frac{ a^{2} }{2}).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Wyznaczanie figury.
Mamy parabolę
\(\displaystyle{ y=x^2-1}\)
i cięciwy o równaniu
\(\displaystyle{ y=ax}\)
Rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x^2-1 \\ y=ax \end{cases}}\)
da nam współrzędne punktów przecięcia tych cięciw z parabolą.
Wyznaczmy środki tych odcinków - nie mówię, jak, bo już na to wpadłeś. Dojdziemy do wniosku, że te środki są punktami paraboli
\(\displaystyle{ y=2x^2}\)
\(\displaystyle{ y=x^2-1}\)
i cięciwy o równaniu
\(\displaystyle{ y=ax}\)
Rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x^2-1 \\ y=ax \end{cases}}\)
da nam współrzędne punktów przecięcia tych cięciw z parabolą.
Wyznaczmy środki tych odcinków - nie mówię, jak, bo już na to wpadłeś. Dojdziemy do wniosku, że te środki są punktami paraboli
\(\displaystyle{ y=2x^2}\)