Wyznaczanie figury.

[Wojciech Szlosek]

Wyznacz figurę, która jest zbiorem środków cięciw paraboli \(\displaystyle{ y= x^{2}-1}\) przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Rozpocząłem rozwiązywanie tego zadania:
Proste, które przechodzą przez P(0,0) są postaci \(\displaystyle{ y=ax}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\). Ta druga prosta nie wyznaczy nigdy cięciwy paraboli. Pora na wyznaczenie punktów wspólnych prostej \(\displaystyle{ y=ax}\) i paraboli. Wychodzi równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2} -ax-1=0}\), którego \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)

Nie mam już pomysłu - co zrobić dalej?

[kruszewski]

Ja zacząłbym od rysunku: krzywa zadana, kilka cięciw i punkty je połowiące, szkic liniii "leżącej na tych punktach połowiących".

[Wojciech Szlosek]

Temat do zamknięcia; wpadłem na ciąg dalszy rozwiązania. Przedstawię je dla potomności, może komuś się kiedyś przyda. Mamy więc funkcję kwadratową \(\displaystyle{ x^{2}-ax-1=0}\). Szukamy środka przecięć cięciw, a więc szukamy \(\displaystyle{ \frac{ x_{1}+x_{2} }{ 2 }}\). Wykorzystując wzór Vieta podana równość wynosi \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\), wtedy \(\displaystyle{ \frac{ y_{1}+y_{2} }{2}= \frac{ a^{2} }{2}}\).
Szukana figura składa się z punktów postaci \(\displaystyle{ ( \frac{a}{2}, \frac{ a^{2} }{2}).}\)

[Dilectus]

Mamy parabolę

\(\displaystyle{ y=x^2-1}\)

i cięciwy o równaniu

\(\displaystyle{ y=ax}\)

Rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x^2-1 \\ y=ax \end{cases}}\)

da nam współrzędne punktów przecięcia tych cięciw z parabolą.

Wyznaczmy środki tych odcinków - nie mówię, jak, bo już na to wpadłeś. Dojdziemy do wniosku, że te środki są punktami paraboli

\(\displaystyle{ y=2x^2}\)