Funkcje trygonometryczne kąta 0 - 180 stopni

[Xenon02]

Witam piszę bo nie rozumiem jednej rzeczy jak chodzi o obliczanie kąta rozwartego

AU

Hk0ZUB7.png (3.5 KiB) Przejrzano 1941 razy

Kat \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{Y_p}{r}}\).

AU

VnLvYqD.png (3.63 KiB) Przejrzano 1941 razy

Tu tak samo \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{Y_p}{r}}\).

Więc kąt będzie poniżej \(\displaystyle{ 90}\) stopni i nie rozumiem dlaczego oznacza się kąt rozwarty jako \(\displaystyle{ \alpha}\) .

Na filmikach z trygonometrii dowolnego kąta i z podręczników wynika ten sam wzór ale jak wyliczam już kąt z ułamków i wyczytuję z tabeli jaki to kąt to wychodzi poniżej tego co ma być więc mnie tylko zastanawia dlaczego oznaczamy go jako \(\displaystyle{ \alpha}\).

Nie mogłoby to wyglądać jakoś tak ?

AU

vDAHEu6.png (3.83 KiB) Przejrzano 1941 razy

Jakoś lepiej to dla mnie wygląda że liczymy \(\displaystyle{ \sin \beta}\) i \(\displaystyle{ 180^\circ - \beta}\) .

[Jan Kraszewski]

Jak Cię to uspokaja, to możesz tak liczyć.

Matematycy wiedzą, że \(\displaystyle{ \sin (180^\circ-\beta)=\sin\beta}\). I dlatego wzór, który Cię niepokoi, jest prawdziwy także dla kąta rozwartego.

JK

[Xenon02]

Jak Cię to uspokaja, to możesz tak liczyć.

Matematycy wiedzą, że \(\displaystyle{ \sin (180^\circ-\beta)=\sin \beta}\). I dlatego wzór, który Cię niepokoi, jest prawdziwy także dla kąta rozwartego.

JK

Ale jak policzymy \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) [drugiego rysunku] To kąt będzie mniejszy niż 90 stopni więc to mnie strasznie dziwi

Ale pokażę to bardziej na obrazku

AU

6JsugFX.png (4.99 KiB) Przejrzano 1941 razy

tu jest pokazane \(\displaystyle{ \alpha}\) wiemy że obie alfy są sobie równe kątowo np \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2}}\)

ale \(\displaystyle{ \sin \beta}\) ma taki sam wynik co w \(\displaystyle{ \alpha}\) czyli wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ponieważ wzór jest \(\displaystyle{ \frac{Y_p}{r}}\)

Nie umiem sobie wyobrazić tego sinusa z tam rozwartym kątem (że niby jak kąt rozwarty może mieć taki sam wzór jak kąt ostry i do tego taki sam wynik i kąt po obliczeniu) czy ja po prostu czegoś nie rozumiem w tych wzorach czy po prostu serio jestem tępy w tym

tak jak kąt ostry na logikę mogłem załapać tak rozwarty nie rozumiem wyniki tych kątów i dlaczego mają taki sam kąt .

Jakby mógł ktoś to fajnie rozrysować

[Gamma]

Spójrz sobie na wykres funkcji \(\displaystyle{ \sin x}\), możesz go znaleźć w internecie. Są takie wartości kątów (różne, kąty mogą być ostre, rozwarte itd.) dla których wartość funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) jest taka sama. Tablice są z reguły tworzone dla wartości kątów \(\displaystyle{ \alpha\in [0, 90^\circ ]}\). I to wystarczy, bo resztę trzeba wiedzieć. Znać własności funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) (które tak na prawdę sprowadzają się do rozumienia jej wykresu), takie jak np. \(\displaystyle{ \sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha)}\) i je wykorzystywać . To czy kąt sobie oznaczysz \(\displaystyle{ \alpha}\) czy \(\displaystyle{ \beta}\) , czy jeszcze jakoś inaczej nie ma znaczenia. Wzory zawsze działają tak samo.

Musisz sobie zdać sprawę z tego, że funkcje trygonometryczne \(\displaystyle{ \sin, \cos}\) są określone dla dowolnych kątów. To co znajdujesz w tablicach, w momencie gdy chcesz odczytać kąt, to tylko fragment dziedziny tych funkcji. Człowiek jest od tego aby ślepo im nie wierzyć i właśnie zauważyć to, że na przykład kąt powinien być rozwarty, a nie ostry, mimo że wartość \(\displaystyle{ \sin}\) wychodzi ta sama.

[Jan Kraszewski]

Nie umiem sobie wyobrazić tego sinusa z tam rozwartym kątem (że niby jak kąt rozwarty może mieć taki sam wzór jak kąt ostry i do tego taki sam wynik i kąt po obliczeniu) czy ja po prostu czegoś nie rozumiem w tych wzorach czy po prostu serio jestem tępy w tym

tak jak kąt ostry na logikę mogłem załapać tak rozwarty nie rozumiem wyniki tych kątów i dlaczego mają taki sam kąt .

No to musisz zadać sobie podstawowe pytanie: co to jest sinus kąta rozwartego? Dla kąta ostrego masz definicję związaną z trójkątem prostokątnym. Ta definicja oczywiście nie działa dla kąta rozwartego, zatem trzeba podać jakąś metodę liczenia sinusa takiego kąta i Ty musiałeś mieć taką metodę podaną.

Jak już przedstawisz nam tę metodę, to możemy Ci wytłumaczyć, dlaczego daje takie zaskakujące Cię i niepokojące wyniki.

JK

[Xenon02]

Nie wiem czy dobrze myślę ale czy jak liczymy np sinus rozwartego kąta i wyjdzie nam \(\displaystyle{ 120}\) stopni to praktycznie to samo co sinus \(\displaystyle{ 60}\) stopni jak chodzi o ułamek czyli z tablicy pierwiastek 2/2 ??? \(\displaystyle{ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha}\).

Dobrze to rozumiem?

[a4karo]

Nie wiem czy dobrze myślę ale czy jak liczymy np sin rozwartego kąta i wyjdzie nam 120 stopni to praktycznie to samo co sin 60 stopni jak chodzi o ułamek czyli z tablicy pierwiastek 2/2 ??? Sin(180 - alfa] = sin Alfa.

Dobrze to rozumiem?

Jak obliczasz sinus kąta i wyjdzie Ci \(\displaystyle{ 120}\) to licz jeszcze raz i jeszcze raz, tak długo aż dostaniesz coś co jest między \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

A \(\displaystyle{ \sin 120^\circ=\sin 60^\circ}\) nie tylko praktycznie ale i teoretycznie i nie ma w tym nic dziwnego.
Jeszcze raz: przyjrzyj się wykresowi sinusa.


I wreszcie zacznij używać \(\displaystyle{ \LaTeX{a}}\), jeżeli nie chcesz dostawać odpowiedzi.

[Xenon02]

Nie wiem czy dobrze myślę ale czy jak liczymy np sin rozwartego kąta i wyjdzie nam 120 stopni to praktycznie to samo co sin 60 stopni jak chodzi o ułamek czyli z tablicy pierwiastek 2/2 ??? Sin(180 - alfa] = sin Alfa.

A \(\displaystyle{ \sin 120^\circ=\sin 60^\circ}\) nie tylko praktycznie ale i teoretycznie i nie ma w tym nic dziwnego.
Jeszcze raz: przyjrzyj się wykresowi sinusa.


I wreszcie zacznij używać \(\displaystyle{ \LaTeX{a}}\), jeżeli nie chcesz dostawać odpowiedzi.

Dobra ...

Jedyną rzecz jaką mogę teraz powiedzieć po namyśle to trochę to samo co przedtem.

Np wracając do ostatniego rysunku z 2 \(\displaystyle{ \alpha}\).

To \(\displaystyle{ \beta}\) to nasze \(\displaystyle{ 180^\circ - \alpha}\).

A wzór na redukcję wygląda tak że \(\displaystyle{ \sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha}\).

Czyli Ułamek rozwartego kąta jest równy ułamkowi kąta ostrego .

Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha}\) dla kąta ostrego jest od (\(\displaystyle{ 0^\circ - 90^\circ}\)) a alfa rozwartego (\(\displaystyle{ 90^\circ - 180^\circ}\)) więc żeby go wyliczyć stosujemy ogólny wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{Y_p}{r}}\) i jeśli użyjemy redukcji do zobaczymy że mają ten sam ułamek 2 różne kąty .

Powiedzcie czy taki tok myślenia jest prawidłowy czy znowu coś pokićkałem.

A i wybacz że nie używałem \(\displaystyle{ \LaTeX{a}}\). Po prostu coś mi wpadło do głowy a była późna godzina więc napisałem swoje przemyślenia na telefonie a że dobijała godzina 2 nad ranem to nie chciałem się bawić \(\displaystyle{ i / .}\)

[a4karo]

Czyli Ułamek rozwartego kąta jest równy ułamkowi kąta ostrego

Myśl nad tym, co piszesz. Jaki ułamek. Nie każdego kąta rozwartego i nie każdego kąta ostrego.

A i wybacz że nie używałem \(\displaystyle{ \LaTeX{a}}\). Po prostu coś mi wpadło do głowy a była późna godzina więc napisałem swoje przemyślenia na telefonie a że dobijała godzina 2 nad ranem to nie chciałem się bawić

Ja tu nie mam nic do wybaczania, po prostu admin wyśle Cię w niebyt.

[Xenon02]

Człowieku ... "Weź pomyśl" jakbym tak nie robił od dłuższego czasu ..to w takim razie powiedz mi na przykładzie dlaczego to tak wygląda a nie inaczej

Mamy punkt \(\displaystyle{ P = (-2,5)}\).

Dobra wiemy że jest to kąt rozwarty.

No to stosujemy wzór \(\displaystyle{ \sin \alpha \frac{Y_p}{r}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{5 \sqrt{29} }{29}}\) .

Okej a w takim razie co by było gdyby dane były że \(\displaystyle{ P = (2,5)}\).

Taki sam wzór jak w poprzednim \(\displaystyle{ \sin \alpha \frac{Y_p}{r}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin \alpha \frac{5 \sqrt{29} }{29}}\) .

Podobieństwo widać więc wywnioskowałem że skoro mamy dane czy to kąt rozwarty czy ostry (bo np widzimy minus przed \(\displaystyle{ X_p}\) to akurat tu możemy wywnioskować że to jest kąt rozwarty).

I wracając do kąta rozwartego czyli \(\displaystyle{ P = (-2,5)}\) .

Mamy policzone i \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{5 \sqrt{29} }{29}}\).

Z tabeli odczytujemy jaki to kąt czyli \(\displaystyle{ \alpha = 68^\circ}\) ale to nie jest za bardzo ten kąt o który nam chodzi ale wiemy że :

\(\displaystyle{ \sin \alpha (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha)}\) więc z tego kąta który bardziej wynika kąt ostry bo taki ułamek i taka liczby mi wyniosły więc skoro w rozwartym stosujemy ten sam wzór i wychodzi nam ten wynik to mówi mi że jak wiemy że to jest kąt rozwarty to możemy użyć tego wzoru by z kąta ostrego można wyliczyć kąt rozwarty

\(\displaystyle{ \sin \alpha(180^\circ - 68^\circ) = \sin 68^\circ}\).

Więc kąt rozwarty wynosi \(\displaystyle{ 112}\) stopni.

Może dobrze napisałem to o co mi chodzi ale nie jestem do końca pewny.

[Gamma]

Popraw \(\displaystyle{ \LaTeX}\), bo bez tego nikt nie rozumie co napisałeś. We wzorach z reguły występuje znak "\(\displaystyle{ =}\)".

Nie szukaj na siłę jakiegoś schematu wyliczania, ani nie czekaj aż ktoś Ci takowy poda, tylko wyszukaj sobie w internecie wykres funkcji \(\displaystyle{ \sin x}\) i zobacz, że wartości sinusa się POWTARZAJĄ i nie ma w tym nic dziwnego. Jedyne co musisz zrobić to przyjrzeć się temu w jaki sposób one się powtarzają. Jedną z takich zależności jest przywołana tu już wielokrotnie:
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha)}\).

[Rafsaf]

Mamy policzone i \(\displaystyle{ sin \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{29} }{29}}\)

Z tabeli odczytujemy jaki to kąt czyli \(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ 68^\circ}\) ale to nie jest za bardzo ten kąt o który nam chodzi

Tu leży problem, który musisz rozwiązać i ujmę to tak, że w żadnej tabeli nie da się odczytać jaki to kąt( nieskończenie wiele kątów spełnia to równanie).
\(\displaystyle{ 68^\circ}\) ? okej, czemu nie, ale równie dobrze \(\displaystyle{ 129668^\circ}\)

To co ciągle robisz, czyli korzystanie z definicji dla kątów ostrych, nijak się ma do innych kątów, interpretacja sinusa przez którą nie potrafisz pomyśleć szerzej o funkcji \(\displaystyle{ \sin(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) może być dowolna liczba rzeczywista(mam na myśli że jest to stosunek długości bla bla bla) ma sens tylko do kątów ostrych, skojarzenie sinusa \(\displaystyle{ 129668^\circ}\) z jakimś trójkątem jest po prostu do bani, ogólnie miara stopniowa sama w sobie jest do bani,

powinieneś zapoznać się z miarą łukową kątów lub zaczekać cierpliwie na nauczyciela który to wyjaśni(zakładam że nie wiesz co to, być może błędnie)
i wtedy zrozumiesz wykres tejże funkcji oraz że np. coś jak \(\displaystyle{ \sin-5}\) to nie jest ufo, tylko jakaś tam liczba i dylematy wyżej znikną.

Ja osobiście przed ogarnięciem miary łukowej nic totalnie nie rozumiałem z wykresu funkcji sinus(a próbowałem, pytam się o coś podobnego jak autor a brat mówi: no popatrz se na wykres sinusa, odczytaj i masz, ale nie była to specjalnie pomocna rada)

[Jan Kraszewski]

Ja tu nie mam nic do wybaczania, po prostu admin wyśle Cię w niebyt.

Nie da się ukryć, że poprawianie każdego postu Xenona02 bywa frustrujące, a sfrustrowany admin to...

JK