Czy prosta jest podprzestrzenią wektorową

[lukasz_xyz]

Czy prosta przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ P _{1}(1,1,0)}\) i \(\displaystyle{ P _{2}(5,0,5)}\) w \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) jest podprzestrzenią wektorową?

Nie bardzo wiem w jaki sposób się sprawdza czy prosta jest podprzestrzenią wektorową. Może mnie ktoś nakierować?

[AiDi]

Podprzestrzeń musi zawierać wektor zerowy, czyli prosta musi przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\).

[lukasz_xyz]

Czy dobrym rozwiązaniem byłoby znaleźć wektor równoległy do tej prostej czyli \(\displaystyle{ \vec{v} = [4, -1, 5]}\) a następnie wyznaczyć równanie parametryczne tej prostej czyli:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=1+4t\\y=-1-t\\z=5 \end{array}}\)

I to już jest dowodem na to, że punkt \(\displaystyle{ (0, 0, 0)}\) nie leży na tej prostej, ponieważ \(\displaystyle{ z=5t}\)?

lub

dla \(\displaystyle{ x = 0}\) mamy \(\displaystyle{ t = - \frac{1}{4}}\)
dla \(\displaystyle{ y = 0}\) mamy \(\displaystyle{ t = -1}\)

Więc \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest równy zero dla różnych parametrów \(\displaystyle{ t}\).

Byłaby to dobra odpowiedź?

PS Właśnie przejrzałem jeszcze raz swoje notatki z przestrzeni wektorowych i mam postawiony wykrzyknik przy twierdzeniu W \(\displaystyle{ V = \RR ^{3}}\) każda prosta i płaszczyzna zawierające wektor zerowy jest podpprzestrzenią wektorową przestrzeni V.

[a4karo]

Równanie parametryczne nie jest poprawne \(\displaystyle{ (z\neq5)}\)

[lukasz_xyz]

W sensie mogłaby być taka odpowiedź jaką Pan zaproponował powyżej czy ja popełniłem błąd w równaniu?

[a4karo]

\(\displaystyle{ z=5t}\).
Pomijając ten błąd pisałeś poprawny argument.

[lukasz_xyz]

Ah, no tak, nie zauważyłem.

Czy dobrym rozwiązaniem byłoby znaleźć wektor równoległy do tej prostej czyli

dla \(\displaystyle{ x = 0}\) mamy \(\displaystyle{ t = - \frac{1}{4}}\)
dla \(\displaystyle{ y = 0}\) mamy \(\displaystyle{ t = -1}\)

Więc \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest równy zero dla różnych parametrów \(\displaystyle{ t}\).

Czyli ten arugment jest poprawny, tak?

[a4karo]

Tak