No i w końcu utknąłem totalnie na ostatnim zadaniu, nie wiem jak je ugryźć, podręcznik nic o tym nie ma, a materiałów w internecie jak na lekarstwo.
Najpierw polecenie:
Wyznacz krzywiznę Gaussa i krzywiznę średnią powierzchni daną równaniami:
\(\displaystyle{ x = 4\cos u \cos v}\)
\(\displaystyle{ y=4\sin u \cos v}\)
\(\displaystyle{ z = 4 \sin v}\)
Wiem, że do obu tych rzeczy muszę znaleźć krzywizny główne \(\displaystyle{ k_1, k_2}\).
I z ich wyznaczeniem mam problem. Wiem jak się wyznacza krzywizny dane parametrycznie, ale nawet jakbym tutaj policzył dużo tych wyznaczników (gdzie moja powierchnia chyba nie jest dana parametrycznie) to i tak otrzymam tylko jedną krzywiznę.
Jak to ugryźć? Jaki wzór mi umknął?
Wiem, że ostatecznie będę liczył \(\displaystyle{ K = k_1 * k_2, H= \frac{1}{2} (k_1 + k_2)}\) gdzie jednak w polskim internecie znalazłem inny wzór na średnią, gdzie tylko sumujemy krzywizny bez dzielenia ich na dwa, ale prędzej jestem gotów zaufać Wolframowi.
Krzywizna Gaussa i średnia
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Krzywizna Gaussa i średnia
W tym zadaniu spostrzegawczość pozwala uniknąć czasochłonnych rachunków. Twoje obliczenia wykazały pewnie, że powierzchnia ma stałą (niezależną od wybranego punktu i kierunku) krzywiznę \(\displaystyle{ k= \frac{1}{4}}\), co dostałbyś od razu zauważając, że jest to sfera o promieniu 4 zapisana parametrycznie współrzędnymi sferycznymi.
Stąd wyliczasz:
\(\displaystyle{ K= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{4} \right)= \frac{1}{4} \\
H= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \right)= \frac{1}{16}}\)
lub wstawiasz promień do znanych (?) wzorków dla sfery:
\(\displaystyle{ K= \frac{1}{r} \\
H= \frac{1}{r^2}}\)
PS
Faktycznie, czasem K jest liczona jako \(\displaystyle{ k_1+k_2}\). Sprawdź którą wersję preferuje Twój wykładowca, i pisz pod niego.
Ponadto na egzaminie, zanim zaczniesz cokolwiek wyliczać, to zastanów się czy zadana powierzchnia nie jest czymś co ma oczywiste krzywizny główne (płaszczyzna,walec,sfera).
Stąd wyliczasz:
\(\displaystyle{ K= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{4} \right)= \frac{1}{4} \\
H= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \right)= \frac{1}{16}}\)
lub wstawiasz promień do znanych (?) wzorków dla sfery:
\(\displaystyle{ K= \frac{1}{r} \\
H= \frac{1}{r^2}}\)
PS
Faktycznie, czasem K jest liczona jako \(\displaystyle{ k_1+k_2}\). Sprawdź którą wersję preferuje Twój wykładowca, i pisz pod niego.
Ponadto na egzaminie, zanim zaczniesz cokolwiek wyliczać, to zastanów się czy zadana powierzchnia nie jest czymś co ma oczywiste krzywizny główne (płaszczyzna,walec,sfera).
-
BigPaws
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 7 lis 2016, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
Re: Krzywizna Gaussa i średnia
Tutaj chyba poproszę o większą pomoc. Fajnie, że można coś zauważyć jednak jak sam zauważyłeś mi to umknęło.
Jednak ja utknąłem na etapie wyliczania krzywizn głównych, nie mogłem znaleźć na to sposobu, a niestety na tym wykładzie mnie nie było (chociaż spisując notatki z zaległości też nic o tym nie zauważyłem).
Są na to jakieś wzory gdybym nie potrafił rozpoznać krzywizny po jej podanych parametrach?
O sferach nic nie mieliśmy zatem tutaj totalnie odpadam Z drugiej strony mówisz, że jest to sfera, w takim razie nie wiem co to zadanie robi jako proponowane na egzamin. Wszystko fajnie jakby łatwo było znaleźć o tym informację w internecie...
Jednak ja utknąłem na etapie wyliczania krzywizn głównych, nie mogłem znaleźć na to sposobu, a niestety na tym wykładzie mnie nie było (chociaż spisując notatki z zaległości też nic o tym nie zauważyłem).
Są na to jakieś wzory gdybym nie potrafił rozpoznać krzywizny po jej podanych parametrach?
O sferach nic nie mieliśmy zatem tutaj totalnie odpadam Z drugiej strony mówisz, że jest to sfera, w takim razie nie wiem co to zadanie robi jako proponowane na egzamin. Wszystko fajnie jakby łatwo było znaleźć o tym informację w internecie...
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Krzywizna Gaussa i średnia
Internet nie jest dobrym źródłem nauki międzyinnymi geometrii różniczkowej . Do tego służą podręczniki na przykład :
John Oprea. Geometria różniczkowa i jej zastosowania. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2002.
czy
Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski. Wstęp do Geometrii Różniczkowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2007.
\(\displaystyle{ x = 4\cos(u)\cos(v),}\)
\(\displaystyle{ y = 4\sin(u)\cos(v),}\)
\(\displaystyle{ z = 4\sin(v).}\)
Mamy podaną parametryzację sfery o promieniu \(\displaystyle{ R = 4.}\)
Jest kilka twierdzeń i związanych z nimi wzorów, które pozwalają wyznaczyć krzywiznę Gaussa \(\displaystyle{ K}\) tej i nie tylko tej powierzchni. Na przykład Theorema Egregium.
Najprościej skorzystać z definicji krzywizny \(\displaystyle{ K}\) Gaussa i definicji średniej krzywizny \(\displaystyle{ H}\) , którą podałeś powyżej.
1.
Znajdujemy bazę wektorów pierwszej formy kwadratowej i jednostkowy wektor normalny do powierzchni sfery:
\(\displaystyle{ \vec{r}_{u}(u,v)=..., \ \ \vec{r}_{v}(u,v)=..., \ \ \vec{n}(u,v) = \frac{\vec{r}(u,v)}{R}=...,}\)
2.
Znajdujemy operator odwzorowania (kształtu) Weingartena
\(\displaystyle{ S_{\vec{v}} = -\partial_{\vec{v}}= - \partial_{\vec{v}}S,}\)
dla bazy \(\displaystyle{ \vec{r_{u}} = \partial_{u}, \ \ \vec{r_{v}} = \partial_{v}:}\)
\(\displaystyle{ S_{\vec{r}(u)} = - \partial_{u}\vec{n}(u,v) = -\partial_{u}\left(\frac{\vec{r}(u,v)}{R}\right)= - \left(\frac{ \partial _{u}\vec{r}(u,v)}{R}\right) = -\frac{\vec{r}_{u}}{R}}\) (1)
\(\displaystyle{ S_{\vec{r}(v)} = - \partial_{v}\vec{n}(u,v) = -\partial_{v}\left(\frac{\vec{r}(u,v)}{R}\right)= - \left(\frac{ \partial _{v}\vec{r}(u,v)}{R}\right) = -\frac{\vec{r}_{v}}{R}}\) (2)
Z (1) i (2) wynika, że operator kształtu:
\(\displaystyle{ S = - \frac{I}{R}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I}\) jest operatorem identycznościowym.
Macierz tego operatora w bazie: \(\displaystyle{ \partial_{u}, \ \ \partial_{v}}\)
\(\displaystyle{ S= -\left(\begin{matrix} \frac{1}{R}& \\ & \frac{1}{R}\end{matrix} \right).}\)
W tym przypadku, jeśli wybierzemy przeciwny zwrot jednostkowego wektora normalnego powierzchni \(\displaystyle{ \vec{n},}\) to otrzymamy tę sam rezultat \(\displaystyle{ \vec{n} \rightarrow -\vec{n}, \ \ S \rightarrow -S.}\)
3.
Określamy krzywizny główne jako wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1}= \lambda_{2}= -\frac{1}{R}}\) operatora krzywizny:
\(\displaystyle{ \kappa_{1}= \kappa_{2} = -\frac{1}{R}.}\)
Uwzględniając znaki przeciwne : \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\frac{1}{R}, \ \ \lambda_{2}= \frac{1}{R},
\ \ \kappa_{1}=\frac{1}{R}, \ \ \kappa_{2}= \frac{1}{R}.}\)
4.
Określamy krzywiznę Gaussa:
\(\displaystyle{ K = \kappa_{1}\cdot \kappa_{2} = \det(S) =\frac{1}{R}\cdot \frac{1}{R}= \frac{1}{R^2}.}\)
5.
Określamy krzywiznę średnią sfery jako połowę śladu macierzy operatora kształtu Weingartena:
\(\displaystyle{ H = \frac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} = \frac{1}{2}Tr (S) = - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\right) = -\frac{1}{R}.}\)
Zauważmy, że krzywizna główna (Gaussa) powierzchni sfery nie zmienia znaku przy zmianie zwrotu jednostkowego wektora normalnego powierzchni, zaś krzywizna średnia zmienia znak z \(\displaystyle{ H}\) na \(\displaystyle{ -H = \frac{1}{R}.}\)
Uwaga
Niektórzy autorzy podręczników podają definicję krzywizny średniej powierzchni, jako sumę (nie średnią arytmetyczną) wektorów głównych:
\(\displaystyle{ H = \kappa_{1}+\kappa_{2}.}\)
\(\displaystyle{ H}\) sfery przyjmujemy wówczas wartość \(\displaystyle{ \frac{2}{R}.}\)
John Oprea. Geometria różniczkowa i jej zastosowania. Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 2002.
czy
Cezary Bowszyc, Jerzy Konarski. Wstęp do Geometrii Różniczkowej. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2007.
\(\displaystyle{ x = 4\cos(u)\cos(v),}\)
\(\displaystyle{ y = 4\sin(u)\cos(v),}\)
\(\displaystyle{ z = 4\sin(v).}\)
Mamy podaną parametryzację sfery o promieniu \(\displaystyle{ R = 4.}\)
Jest kilka twierdzeń i związanych z nimi wzorów, które pozwalają wyznaczyć krzywiznę Gaussa \(\displaystyle{ K}\) tej i nie tylko tej powierzchni. Na przykład Theorema Egregium.
Najprościej skorzystać z definicji krzywizny \(\displaystyle{ K}\) Gaussa i definicji średniej krzywizny \(\displaystyle{ H}\) , którą podałeś powyżej.
1.
Znajdujemy bazę wektorów pierwszej formy kwadratowej i jednostkowy wektor normalny do powierzchni sfery:
\(\displaystyle{ \vec{r}_{u}(u,v)=..., \ \ \vec{r}_{v}(u,v)=..., \ \ \vec{n}(u,v) = \frac{\vec{r}(u,v)}{R}=...,}\)
2.
Znajdujemy operator odwzorowania (kształtu) Weingartena
\(\displaystyle{ S_{\vec{v}} = -\partial_{\vec{v}}= - \partial_{\vec{v}}S,}\)
dla bazy \(\displaystyle{ \vec{r_{u}} = \partial_{u}, \ \ \vec{r_{v}} = \partial_{v}:}\)
\(\displaystyle{ S_{\vec{r}(u)} = - \partial_{u}\vec{n}(u,v) = -\partial_{u}\left(\frac{\vec{r}(u,v)}{R}\right)= - \left(\frac{ \partial _{u}\vec{r}(u,v)}{R}\right) = -\frac{\vec{r}_{u}}{R}}\) (1)
\(\displaystyle{ S_{\vec{r}(v)} = - \partial_{v}\vec{n}(u,v) = -\partial_{v}\left(\frac{\vec{r}(u,v)}{R}\right)= - \left(\frac{ \partial _{v}\vec{r}(u,v)}{R}\right) = -\frac{\vec{r}_{v}}{R}}\) (2)
Z (1) i (2) wynika, że operator kształtu:
\(\displaystyle{ S = - \frac{I}{R}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I}\) jest operatorem identycznościowym.
Macierz tego operatora w bazie: \(\displaystyle{ \partial_{u}, \ \ \partial_{v}}\)
\(\displaystyle{ S= -\left(\begin{matrix} \frac{1}{R}& \\ & \frac{1}{R}\end{matrix} \right).}\)
W tym przypadku, jeśli wybierzemy przeciwny zwrot jednostkowego wektora normalnego powierzchni \(\displaystyle{ \vec{n},}\) to otrzymamy tę sam rezultat \(\displaystyle{ \vec{n} \rightarrow -\vec{n}, \ \ S \rightarrow -S.}\)
3.
Określamy krzywizny główne jako wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1}= \lambda_{2}= -\frac{1}{R}}\) operatora krzywizny:
\(\displaystyle{ \kappa_{1}= \kappa_{2} = -\frac{1}{R}.}\)
Uwzględniając znaki przeciwne : \(\displaystyle{ \lambda_{1}=\frac{1}{R}, \ \ \lambda_{2}= \frac{1}{R},
\ \ \kappa_{1}=\frac{1}{R}, \ \ \kappa_{2}= \frac{1}{R}.}\)
4.
Określamy krzywiznę Gaussa:
\(\displaystyle{ K = \kappa_{1}\cdot \kappa_{2} = \det(S) =\frac{1}{R}\cdot \frac{1}{R}= \frac{1}{R^2}.}\)
5.
Określamy krzywiznę średnią sfery jako połowę śladu macierzy operatora kształtu Weingartena:
\(\displaystyle{ H = \frac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} = \frac{1}{2}Tr (S) = - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R}\right) = -\frac{1}{R}.}\)
Zauważmy, że krzywizna główna (Gaussa) powierzchni sfery nie zmienia znaku przy zmianie zwrotu jednostkowego wektora normalnego powierzchni, zaś krzywizna średnia zmienia znak z \(\displaystyle{ H}\) na \(\displaystyle{ -H = \frac{1}{R}.}\)
Uwaga
Niektórzy autorzy podręczników podają definicję krzywizny średniej powierzchni, jako sumę (nie średnią arytmetyczną) wektorów głównych:
\(\displaystyle{ H = \kappa_{1}+\kappa_{2}.}\)
\(\displaystyle{ H}\) sfery przyjmujemy wówczas wartość \(\displaystyle{ \frac{2}{R}.}\)