Styczna do cykloidy

[BigPaws]

Prosze o sprawdzenie poprawności rozwiązanego zadania:

Mam znaleźć styczną do cykloidy \(\displaystyle{ (t+\sin{t}, 1+\cos{t})}\) w chwili \(\displaystyle{ t=2\pi}\)

Znalazłem następujący wzór, mam nadzieję, że skorzystałem z dobrego:

\(\displaystyle{ y - y _{1} = m(x - x_{1})}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ x_{1} = 2\pi + \sin{2\pi} = 2\pi}\)
\(\displaystyle{ y_{1} = 1 + \cos{2\pi} = 1 + 1 = 2}\)

Następny wzór to:
\(\displaystyle{ m = \frac{ \frac{dy}{dt} }{ \frac{dx}{dy} }}\)

Zatem licze pochodne:

\(\displaystyle{ \frac{-\sin{t}}{1+\cos{t}} = \frac{-\sin{2\pi}}{1+\cos{2\pi}} = \frac{0}{2} = 0}\)

Podstawiam wszystko do wzoru i wychodzi mi:

\(\displaystyle{ y - 2 = 0 y = 2}\)

Zatem styczną do podanej cykloidy jest prosta \(\displaystyle{ y=2}\)

Czy to jest dobrze? Posiłkowałem się zagranicznymi źródłami dlatego nie wiem czy znalazłem odpowiednie

[janusz47]

\(\displaystyle{ C(t)=[t - \sin(t), 1 -\cos(t)].}\) - równania parametryczne cykloidy normalnej \(\displaystyle{ (r = 1).}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt} = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}.}\)

Równanie ogólne stycznej:

\(\displaystyle{ y(t) = a\cdot x + b}\)

Wyznaczenie współczynnika \(\displaystyle{ b:}\)

\(\displaystyle{ y(t) = \frac{\sin(t}{1-\cos(t)} +b}\)

\(\displaystyle{ 1- \cos(t) = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}\cdot (t-\sin(t)) + b.}\)

\(\displaystyle{ b = 1-\cos(t) -\frac{\sin(t)(t-\sin(t))}{1-\cos(t)}= \frac{(1-\cos(t))^2-\sin(t)(t-\sin(t)}{1-\cos(t)}.}\)

Równanie stycznej do cykloidy:

\(\displaystyle{ y(t) = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}x + \frac{(1-\cos(t))^2-\sin(t)(t-\sin(t)}{1-\cos(t)}}\)

lub

\(\displaystyle{ y(t) = \frac{\sin(t)}{1-\cos(t)}x + \frac{2(1-\cos(t))- t\sin(t)}{1-\cos(t)}.}\)

lub

\(\displaystyle{ y (t) = \ctg\left(\frac{t}{2}\right)x + 2 - t\ctg\left(\frac{t}{2}\right).}\)

\(\displaystyle{ t\in \{\RR \setminus 2k\pi,\ \ k\in Z \}.}\)

Dla \(\displaystyle{ t = 2k\pi, k\in Z:}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 2k\pi^{+}} \frac{dy}{dx} = \lim_{t \to 2k\pi^{+}} \frac{sin(t)}{1- \cos(t)}= H =\lim_{t\to 2k\pi^{+}} \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = +\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t \to 2k\pi^{-}} \frac{dy}{dt} = \lim_{t \to 2k\pi^{-}} \frac{sin(t)}{1- \cos(t)}= \lim_{t\to 2k\pi^{-}} \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = -\infty.}\)

W tym przypadku stycznymi do cykloidy są proste pionowe o równaniach:

\(\displaystyle{ x_{k} = 2\pi k, \ \ k\in Z.}\)

Dla \(\displaystyle{ k=1, \ \ x_{1} = 2\pi.}\)

[BigPaws]

Przepraszam, ale dla mnie się tu za dużo dzieje, więc nie jestem w stanie nawet stwierdzić czy dobrze zrobiłem czy w ogóle nawet nie byłem blisko.

[janusz47]

Co to znaczy za dużo się dzieje?

Z równań parametrycznych cykloidy normalnej - obliczamy jej współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a = \frac{dy}{dx}.}\)

Wyznaczamy współczynnik przesunięcia prostej \(\displaystyle{ b,}\) podstawiając za \(\displaystyle{ x, y}\) odpowiednio jej równania parametryczne.

Pokazujemy, że w przypadkach granicznych \(\displaystyle{ x = 2\pi k, \ \ k\in Z}\) w punktach, gdzie wykres cykloidy ma "piki" równania stycznych są postaci: \(\displaystyle{ x_{k} = 2\pi k, \ \ k =...\pm -1, 0, \pm 1,...}\)

[BigPaws]

Dzieje się dużo w sensie mam do rozwiązania 5 podobnych zadań w 20 minut na kolokwium, a tu przeczytanie samych tych wzorów zajmuje sporo czasu a jeszcze trzeba policzyć, zakładam więc, że to jednak nie o to chodzi.

Chciałbym się po prostu dowiedzieć czy mam dobry wynik, sugerowałem się tym źródłem:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=glt1CtpTOxg

Gdzie opisuje znajdywanie stycznej do krzywej parametrycznej, z tego co wiem cykloida taką jest.
Nie ukrywam, że geometrię analityczną chcę zdać i zapomnieć, bo zajmuje mi zdecydowanie zbyt dużo czasu, który mógłbym przeznaczyć na programowanie i poszerzanie wiedzy, która przyda mi się w pracy.

[kerajs]

@ BigPaws,
To dobre rozwiązanie.

Równanie stycznej zadanej parametrycznie:
\(\displaystyle{ y-y(t_0)= \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x-x(t_0))}\)

Zauważ że Janusz rozwiązał trochę inne zadanie i stąd ma inne wyniki.

[BigPaws]

Dziękuję. W przypadku innego przedmiotu (albo może innego prowadzącego) chętniej wgryzłbym się w tematykę, ale do tego straciłem całe serce przez postawę "mój przedmiot jest najważniejszy, mimo, że na doczepkę".