Wyznaczenie punktów będących odbiciem symetrycznym

[BigPaws]

Mam następujące polecenie:

Dane są punkty \(\displaystyle{ A(1,2), B(3,1), C(-1,-1)}\). Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) a następnie wyznacz pkt \(\displaystyle{ C'}\) będący odbiciem symetrycznym punktu \(\displaystyle{ C}\) względem prostej \(\displaystyle{ l}\).

Zatem policzyłem sobie takie rzeczy:
Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB} = [2,-1]}\).
Pamiętając jakieś wiadomości z poprzednich lat edukacji zrobiłem sobie z niego wektor prostopadły do prostej:
Wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = [1,2]}\)

Wyznaczyłem sobie równanie prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ x+2y-5 = 0}\)

Do tego miejsca wydaje mi się, że mam dobrze, dalej nie bardzo wiem jak się za to zabrać. Zakładam będe musiał podziałać z wektorem \(\displaystyle{ \vec{AC}}\) więc go sobie wyznaczyłem: \(\displaystyle{ \vec{AC} = [-2, -3]}\).

Jak postepować z odbiciem symetrycznym? Jaki wzór powinienem poznać? Będę wdzięczny za pomoc.

[Jarek753]

Skoro już masz równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) to teraz możesz łatwo wyznaczyć prostą do niej prostopadłą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ C}\) . Nastepnie znajdujesz punkt ich przecięcia, oznaczmy go \(\displaystyle{ P}\) . No i teraz wystarczy skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PC'}}\)
gdzie przez \(\displaystyle{ C'}\) oznaczam szukany punkt symetryczny.

Ogólnie punktu symetrycznego do punktu \(\displaystyle{ A}\) względem prostej szukamy w ten sposób, że znajdujemy rzut prostopadły tego punktu na prostą, oznaczmy go \(\displaystyle{ P}\) , a następnie wyznaczamy taki punkt \(\displaystyle{ A'}\) po drugiej stronie tej prostej, że \(\displaystyle{ |AP|=|PA'|}\).