Rownanie prostej w przestrzeni prostopadlej do płaszczyzny

[tomcio1995]

Hejka, mam do rozwiązania takie zadanie i nie mam pojęcia jak je rozwiązać.

1) Napisać równanie prostej w \(\displaystyle{ \RR^3}\) prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ 2x-3y+z=4}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (1, -2, 0).}\)
2) Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ p=(1,-2,0)}\) od danej płaszczyzny \(\displaystyle{ P}\).

Byłbym wdzięczny za wszelkie starania, bo bardzo zależy mi na tym zadaniu.

[Janusz Tracz]

1) Wyznacz wektor normalny płaszczyzny i przyczep w punkcie przez jaki ów prosta ma przechodzić.
2) Są gotowe wzory, ale jak nie pamiętasz to możesz stworzyć układ równań i wyznaczyć część wspólną prostej i płaszczyzny. Dostaniesz punkt \(\displaystyle{ P'}\) a odległość tego punktu od punktu \(\displaystyle{ P}\) będzie odpowiedzią.

[tomcio1995]

W 1 zadaniu zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ x-\frac12=y+\frac{2}{-3}=z=t}\)
i wyszło mi 3 naprawde wyniki: \(\displaystyle{ t=x-\frac12; t=y+\frac{2}{-3} ; t=z}\)

A drugiego to ciągle nie mam pojęcia jak zrobić

[Janusz Tracz]

Zacznij pisząc w Latex i wstawiać matematyczny tekst w klamry [tex][/tex]

Wektor normalny to \(\displaystyle{ \left[ 2,-3,1\right]}\) a punkt to oczywiście \(\displaystyle{ (1,-2,0)}\). Prostą można łatwo zapisać w postaci parametrycznej \(\displaystyle{ r(t)=\left[ 2,-3,1\right]t+(1,-2,0)}\) co innymi słowy określa układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(t)=2t+1\\y(t)=-3t-2 \\ z(t)=t \end{cases}}\)

dla \(\displaystyle{ t\in\RR}\). I to koniec zadania 1. Zadanie 2 zrobisz jak podstawisz te równania do równania płaszczyzny i wyznaczysz dla jakiego \(\displaystyle{ t}\) prosta \(\displaystyle{ r(t)}\) przecina płaszczyznę. Maja to szczególne \(\displaystyle{ t_0}\) wyznaczysz w jakim punkcie następuje przebicie płaszczyzny tj. \(\displaystyle{ \left( x(t_0),y(t_0),z(t_0)\right)}\). Na koniec policz odległość punkty od punktu. To już powinieneś umieć skoro robisz geometrię w \(\displaystyle{ \RR^3}\).