Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej-równanie ogólne

[KlaudynaK]

Witam, próbuje rozwiązać zadanie zamknięte, lecz nie wychodzi mi poprawna odpowiedź. Ktoś wskaże mi co robię źle?
Treść:
Punkty przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych i początek układu współrzędnych są wierzchołkami trójkąta o polu \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\) . Kąt ostry trójkąta leżący przy osi \(\displaystyle{ y}\) ma miarę \(\displaystyle{ 30}\) stopni. Która z wymienionych prostych spełnia warunki zadania?

Odpowiedzi:
A. \(\displaystyle{ \sqrt{3}x+y-2 \sqrt{6}=0}\)
B. \(\displaystyle{ \sqrt{-3}x+2y-2 \sqrt{6}=0}\)
C. \(\displaystyle{ \sqrt{3}x+3y-6 \sqrt{2}=0}\)
D. \(\displaystyle{ \sqrt{3}x+-3y-26 \sqrt{62}=0}\)
Moje próby rozwiązania:
1. Robiąc rysunek pomocniczy uznałam, że będzie to trójkąt prostokątny, więc \(\displaystyle{ \tg 60^\circ=a}\) czyli \(\displaystyle{ a=\sqrt{3}}\).
2. Z tangesu \(\displaystyle{ 30}\) stopni wyznaczyłam żę \(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{3}y }{3}}\) .
3. Z podanego Pola wyliczyłam \(\displaystyle{ y=2\sqrt{6}}\) czyli uznałam że będzie to b.
I z tego wyszło mi równanie \(\displaystyle{ \sqrt{3} x-y+2\sqrt{6}=0}\) , czyli nie zgadzając mi się znaki. Co robię źle?

[Dilectus]

Trochę niedobrze zapisałaś w LaTeXu równanie tej prostej. Czy chodzi o równanie

\(\displaystyle{ \sqrt{3}x+y-2 \sqrt{6}=0}\) ?

Piszesz też:

Która z wymienionych prostych spełnia warunki zadania?

ale żadnej prostej nie wymieniłaś w treści zadania. Spróbuj poprawić treść zadania, a z pewnością Ci ktoś pomoże.

[KlaudynaK]

Okej, chyba teraz jest czytelniej
Dzięki za radę.

[Dilectus]

1. Robiąc rysunek pomocniczy uznałam, że będzie to trójkąt prostokątny, więc \(\displaystyle{ \tg 60^\circ=a}\) czyli \(\displaystyle{ a=\sqrt{3}}\).

To nie jest jedyny wniosek, bo skoro kąt ostry trójkąta leżący przy osi y ma miarę \(\displaystyle{ 30}\) stopni, to znaczy, że kąt nachylenia tej prostej do osi \(\displaystyle{ OX}\) może być albo \(\displaystyle{ 30^o}\), albo \(\displaystyle{ 120^o}\). Wybrałaś - nie wiem, dlaczego - tę pierwszą ewentualność, a wśród prostych A-D nie ma prostej, której współczynnik kierunkowy byłby równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).
Stąd płynie wniosek, że chodzi o prostą nachyloną do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 120^o}\)
Mamy więc ze wzorów redukcyjnych

\(\displaystyle{ \tg120= \tg (90+30)= -\ctg 30= -\frac{1}{ \sqrt{3} } = - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

A taki współczynnik kierunkowy ma prosta C.

\(\displaystyle{ \sqrt{3}x+3y-6 \sqrt{2}=0}\)

\(\displaystyle{ y= - \frac{ \sqrt{3} }{3}x+ 2 \sqrt{2}}\)

Dalej sobie poradzisz?

[KlaudynaK]

No właśnie próbowałam jeszcze raz to rozwiązać, ale nie rozumiem jak może być to 120 stopni jeżeli ma być to trójkąt.
PS- w odpowiedziach jako poprawną wskazali prostą A.

[Euler41]

KlaudynaK, kąt \(\displaystyle{ 120^o}\) nie jest kątem wewnętrznym trójkąta, tylko kątem nachylenia prostej do osi \(\displaystyle{ OX}\).

Dilectus się pomylił \(\displaystyle{ \tg 120^o = - \sqrt{3}}\)

[Dilectus]

KlaudynaK, Dilectus się pomylił \(\displaystyle{ \tg 120^o = - \sqrt{3}}\)

Euler41, masz rację, dziękuję. To wszystko przez pośpiech - robiłem to w pociągu. Mea culpa.

A zatem poprawmy:

\(\displaystyle{ \tg120= \tg (90+30)= -\ctg 30= - \sqrt{3}}\)

a taki współczynnik kierunkowy ma prosta A.

\(\displaystyle{ \sqrt{3}x+y-2 \sqrt{6}=0}\)

\(\displaystyle{ y=- \sqrt{3}x+2 \sqrt{6}}\)

itd.

Dziękuję za wyłapanie błędu i przepraszam za błędną podpowiedź.