Cykliczność czworokąta na płaszczyźnie zespolonej

[haisha]

Witam,
Próbuję rozwiązać zadanie 3 z tegorocznego II etapu Olimpiady matematycznej () na płaszczyźnie zespolonej.
Wprowadzam \(\displaystyle{ A: a^{2}, B: b^{2}, C: c^{2}}\) na okręu jednostkowym. Wtedy punkt \(\displaystyle{ Q}\), jako środek łuku \(\displaystyle{ BC}\) to \(\displaystyle{ -bc}\), a punkt \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ bc}\). \(\displaystyle{ R}\) jako rzut punktu P na cięciwę \(\displaystyle{ AC}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}( a^{2}+c^{2}+bc-a^{2}c^{2}\bar{bc}}\)). I punkt \(\displaystyle{ S}\), jako środek odcinka \(\displaystyle{ AQ}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a^{2}-bc)}\).
No i teraz mam te cztery wierzchołki czworokąta, którego cykliczność mamy wykazaći:
\(\displaystyle{ A: a^{2}}\)
\(\displaystyle{ B: b^{2}}\)
\(\displaystyle{ S: \frac{1}{2}(a^{2}-bc)}\)
\(\displaystyle{ R: \frac{1}{2}( a^{2}+c^{2}+bc-a^{2}c^{2}\bar{bc})}\)
I tutaj pojawia się moje pytanie. Jak mając te punkty wykazać, że czworokąt jest cykliczny? Wiem, że ludzie tak rozwiązywali to zadanie, czyli w jakiś łatwy sposób się da, jednak nie jestem w stanie na niego wpaść

[Geftus]

Po pierwsze, we wzorze na \(\displaystyle{ R}\) coś nie gra z wyrazem \(\displaystyle{ a^2b^2\bar{b}\bar{c}}\);
Jeśli chodzi zaś o postawione pytanie, to zauważ, że warunek wpisywalności czworokąta \(\displaystyle{ XYZT}\) w okrąg jest równoważny równości (skierowanych!) kątów \(\displaystyle{ XYT}\) i \(\displaystyle{ XZT}\). W jaki sposób przekłada się to na zespo ukrywam, bo z powyższych słów fajnie to samemu wywnioskować

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \dfrac{y-x}{y-t} : \dfrac{z-x}{z-t} \in \mathbb{R}.}\)

Nie wiem jakie są źródła do osięgnięcia biegłości w pałowaniu na zespo, ale znajdziesz w miarę przystępnie te najważniejsze wypisane z przykładami, może to być dla Ciebie użyteczne

[haisha]

Dziękuję za odpowiedź. Tak, tam powinno być \(\displaystyle{ a^{2}c^{2}\bar{bc})}\). Nawet korzystając z podanego przez ciebie warunku coś niezbyt mi wychodzi

[Geftus]

Hmm, jeżeli gubisz się w rachunkach, a być może w tym siedzi problem, to warto przyjąć jakieś uproszczenia --- przykładowo bez straty ogólności możesz na początku obrócić sobie tak trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), by \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) były symetryczne względem rzeczywistej osi.

Przy takim uproszczeniu dorachowałem i wychodzi.

[haisha]

Wybacz, że tak cię męczę, ale mógłbyś nawet w formie zdjęcia kartki na której to robiłeś pozakać mi to dorachowanie? Bo liczę i liczę i nie wychodzi. Nawet z tym uproszczeniem

[Geftus]

Luzik, proszę bardzo:
Przy podanym uproszczeniu nie musimy przyjmować współrzędnych jako kwadratów, bo to służyło nam tylko do łatwego wyliczenia środków łuków, a uproszczenie daje nam już to za darmo; ponadto wybieramy przy okazji tę orientację, w której \(\displaystyle{ 1}\) ląduje na środku tego łuku, na którym nie ma punktu \(\displaystyle{ A}\). Tym samym:
Współrzędne \(\displaystyle{ A,B,S,R}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ a, b, \dfrac12(a+1), \dfrac12 (a+c-1+ac)}\). Dlatego by wykazać cykliczność \(\displaystyle{ ABSR}\) rozważamy liczbę
\(\displaystyle{ \dfrac{2a - (a + c - 1 + ac)}{2a - (a + 1)} : \dfrac{2b - (a + c - 1 + ac)}{2b - (a + 1)} =
\dfrac{(a+1)(1-c)}{a-1} \cdot \dfrac{2-ac-c}{2+c-ac^2-ac-c^2} = \dfrac{(a+1)(1-c)}{a-1} \cdot \dfrac{2-ac-c}{(2-ac-c)(1+c)} = \dfrac{(a+1)(1-c)}{(a-1)(1+c)}.}\)
Tu po drodze rozszerzyliśmy ułamki przez \(\displaystyle{ 2}\) oraz dodatkowo rozszerzyliśmy drugi ułamek przez \(\displaystyle{ c}\) (zauważ, że to uwalnia nas od związku liczb \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\), a więc możemy o nim "zapomnieć").
I żeby sprawdzić jej rzeczywistość wystarczy sprawdzić, że jest ona równa swemu sprzężeniu, czyli liczbie
\(\displaystyle{ \dfrac{(\frac1a + 1)(1-\frac1c)}{(\frac1a - 1)(1+\frac1c)}}\), co jest już widoczne dla oka.

[haisha]

Dzięki wielkie! Nie wpadłem na to, że możemy pominąc te kwadraty