Elipsoida a płaszczyzna

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Elipsoida a płaszczyzna

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć minimum odległości między płaszczyzną \(\displaystyle{ Ax+By+Cz=1}\) a elipsoidą \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1}\).
Uwagi: zakładamy, iż stałe \(\displaystyle{ A, B, C}\) są dodatnie
oraz elipsoida i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Elipsoida a płaszczyzna

Post autor: kerajs »

Zakładam że istnieje punkt \(\displaystyle{ P=(x_0,y_0,z_0)}\) elipsoidy w którym płaszczyzna do niej styczna jest równoległa do płaszczyzny danej. Porównując wektory normalne tych płaszczyzn mam:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{2x_0}{a^2}, \frac{2y_0}{b^2},\frac{2z_0}{c^2}\right] = \alpha \left[ A,B,C\right]}\)
Stąd: \(\displaystyle{ P=\left( \frac{ \alpha Aa^2}{2}, \frac{ \alpha Bb^2}{2}, \frac{ \alpha Cc^2}{2}\right)}\)
Wstawiając jego współrzędne do równania elipsoidy wyliczam:
\(\displaystyle{ \alpha_1= \frac{2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} } \vee \alpha_2= \frac{-2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} }}\)
Istnieją dwa punkty spełniające założenie (z pierwszego zdania tego postu):
1)
\(\displaystyle{ P_1=\left( \frac{Aa^2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} },\frac{Bb^2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} },\frac{Cc^2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} } \right)}\)
jest on punktem elipsoidy leżącym najbliżej danej płaszczyzny
2)
\(\displaystyle{ P_2=\left( \frac{-Aa^2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} },\frac{-Bb^2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} },\frac{-Cc^2}{ \sqrt{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2} } \right)}\)
jest on punktem elipsoidy leżącym najdalej od danej płaszczyzny

Zastosowanie wzoru na odległość punktu P1 od płaszczyzny zakończy zadanie.
ODPOWIEDZ