Matematyka.pl

Rozwiąże i wytłumaczy mi ktoś takie zadanko?
Sprawdź czy prosta \(\displaystyle{ l:\ \begin{cases} x+2y-z+1=0 \\ 2x-y+3z-2=0 \end{cases}}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : x+y-z+3=0}\). Z góry dzięki za pomoc.

Jeden z wariantów rozwiązania:
Prosta jest równoległa do płaszczyzny gdy jej wektor kierunkowy jest prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny.
vec{k}= vec{n_1} imes vec{n_2}=left[ 1,2,-1
ight] imes left[ 2,-1,3
ight]=left[ 5,-5,-5
ight] \
\
\(\displaystyle{ \vec{k} \circ \vec{n}= \left[ 5,-5,-5\right] \circ \left[ 1,1,-1\right]=5-5+5=5 \neq 0}\)
Iloczyn skalarny jest różny od zera więc wektory nie są prostopadłe, czyli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny.