Odległość między prostymi

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
xiko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 31 gru 2017, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kcynia
Podziękował: 3 razy

Odległość między prostymi

Post autor: xiko »

Witam, mam do policzenia odległość między prostymi :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1+4t \\ y=3-2t \\ z=-1+3t \end{cases}
\begin{cases} x = -1+s \\ y=1-s \\ z=2s \end{cases}}\)


Obliczyłem \(\displaystyle{ \overrightarrow{P_1P_2} = (-2,-2,1)}\)
oraz obliczyłem\(\displaystyle{ \overrightarrow{K_1}\times\overrightarrow{K_2} =(-7,-5,-2)}\)
Tylko problem jest taki, że nie wiem co dalej zrobić.. Jakiś wzór?
Ostatnio zmieniony 9 cze 2018, o 16:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Odległość między prostymi

Post autor: Premislav »

Jak ktoś woli analizę od algebry liniowej czy geometrii analitycznej (np. ja), to może znaleźć minimum funkcji dwóch zmiennych \(\displaystyle{ d(t,s)}\) określającej odległość między punktami z tych zbiorów:
\(\displaystyle{ d(t,s)= \sqrt{(1+4t-(-1+s))^2+(3-2t-(1-s))^2+(-1+3t-2s)^2}=\\=\sqrt{(4t-s+2)^2+(-2t+s+2)^2+(3t-2s-1)^2}}\)
Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest funkcją rosnącą w swojej dziedzinie, więc wystarczy minimalizować kwadrat tej funkcji, a potem spierwiastkować. No a kwadrat tej funkcji wyraża się przez:
\(\displaystyle{ (4t-s+2)^2+(-2t+s+2)^2+(3t-2s-1)^2=\\=6 s^2 - 24 s t + 4 s + 29 t^2 + 2 t + 9}\)
Tutaj można zbadać minima funkcji dwóch zmiennych i skorzystać z jej (funkcji) ewidentnej wypukłości,
nietrudno wyliczyć, że \(\displaystyle{ (t,s)=\left( -1, -\frac 7 3\right)}\) i potem można coś poprzynudzać o wypukłości, albo można tak postąpić:
\(\displaystyle{ =6 s^2 - 24 s t + 4 s + 29 t^2 + 2 t + 9=\\=\frac 4 7(7t-3s)^2+(t+1)^2+\frac 6 7\left( s+\frac 7 3\right)^2+\frac{10}{3} \ge \frac{10}{3}}\)
z równością dla \(\displaystyle{ (t,s)=\left( -1, -\frac 3 7\right)}\)

Zatem o ile się nie rąbnąłem w rachunkach, odpowiedzią w zadaniu jest \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{10}{3}}}\)
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Odległość między prostymi

Post autor: karolex123 »

Podejście algebraiczne:
zauważ, że pierwsza prosta to \(\displaystyle{ \left[ 1,3,-1\right] +t\left( 4,-2,3\right)}\) dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb R}\). Stąd mamy natychmiast kierunek tej prostej: \(\displaystyle{ \alpha =\left( 4,-2,3\right)}\). Analogicznie kierunek drugiej prostej to \(\displaystyle{ \beta =\left( 1,-1,2\right)}\). Szukamy wektora ortogonalnego do wektorów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\); można to zrobić na wiele sposobów ja polecam takie rozumowanie: wektory \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) rozpinają pewną płaszczyznę. Nietrudno się przekonać, że jest ona opisana równaniem \(\displaystyle{ x+5y+2z=0}\) (najlepiej samemu do tego dotrzeć). Zatem wektorem ortogonalnym do wektorów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) będzie wektor normalny tej płaszczyzny, czyli \(\displaystyle{ \gamma=\left( 1,5,2\right)}\). Wystarczy teraz zrzutować prostopadle wektor łączący dowolne punkty tych prostych na \(\displaystyle{ \gamma}\) i policzyć jego normę.-- 9 cze 2018, o 18:52 --Premislav, wyszło mi to samo
ODPOWIEDZ