Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty....

[Pyroxar]

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A=(-5,3)}\) i \(\displaystyle{ B=(0,6)}\), którego środek leży na prostej o równaniu \(\displaystyle{ x-3y+1=0}\).

Przekształcam równanie prostej na której leży środek okręgu.
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}}\)
Tak więc punkt \(\displaystyle{ O}\) będący środkiem okręgu ma koordynaty \(\displaystyle{ O=(x,\frac{1}{3}x + \frac{1}{3})}\)

Wiemy że okrąg przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ A=(-5,3)}\) i \(\displaystyle{ B=(0,6)}\) czyli promień \(\displaystyle{ r = |AO|=|OB|}\)

Więc układam równość:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x+5) ^{2} + ( \frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} - 3) ^{2} } = \sqrt{(x) ^{2} + ( \frac{1}{3}x+ \frac{1}{3} - 6) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} + 10x + 25 + \frac{1}{9}x ^{2} - \frac{16}{9}x + \frac{64}{9} } = \sqrt{x ^{2} + \frac{1}{9}x ^{2} - \frac{34}{9}x + \frac{324}{9}}}\)
Podnoszę obustronnie do kwadratu (mogę tak?)
\(\displaystyle{ x ^{2} + 10x + 25 + \frac{1}{9}x ^{2} - \frac{16}{9}x + \frac{64}{9} = x ^{2} + \frac{1}{9}x ^{2} - \frac{34}{9}x + \frac{324}{9}}\)
Mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ 9}\)
\(\displaystyle{ 9x ^{2} + 90x+ 225+ x ^{2} - 16x + 64 = 9x ^{2} + x ^{2} -34x + 324}\)
Porządkuje
\(\displaystyle{ 90x-16x+34x=324-225-64 \\
108x=35}\)
Wyniku nie otrzymuje
\(\displaystyle{ x= \frac{35}{108}}\) a powinno wyjść \(\displaystyle{ x=0}\)
Nie widzę tu błędu, pomożecie?

[Jan Kraszewski]

Błąd rachunkowy: \(\displaystyle{ 17^2=289\ne 324}\).

JK

[Pyroxar]

Bardzo dziękuje!

Podnoszenie obustronnie do potęgi jest dobre?

[Jan Kraszewski]

Podnoszenie obustronnie do potęgi jest dobre?

Dobre, przecież obie strony równości są nieujemne, więc jest to przejście równoważne.

JK

[Pyroxar]

Jest dobre ale nie zawsze? Kiedy mam się strzec?
Jeśli będę miał:\(\displaystyle{ -3 \sqrt{x}=3 \sqrt{x}}\)
to już nie mogę?
Ale jeśli będę miał:
\(\displaystyle{ -3 \sqrt{x}=-3 \sqrt{x}}\)
to wtedy mogę?

[Jan Kraszewski]

Podnoszenie równości obustronnie do kwadratu jest przejściem równoważnym dokładnie wtedy, gdy obie strony równości są tego samego znaku.

JK

[janusz47]

Przecinając symetralną odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) z prostą daną tj. rozwiązując układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}, \\ y = -3x -3 \end{cases}}\)

otrzymujemy współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ S = ( -1, 0)}\) .

Promień okręgu: \(\displaystyle{ r = |AS| = \sqrt{(-5 +1)^2 +(3-0)^2}= \sqrt{16 +9} = \sqrt{25}= 5}\)

Równanie kanoniczne okręgu:

\(\displaystyle{ (x +1)^2 + y^2 = 25}\)

[Rafsaf]

Jest dobre ale nie zawsze? Kiedy mam się strzec?
Jeśli będę miał:\(\displaystyle{ -3 \sqrt{x}=3 \sqrt{x}}\)
to już nie mogę?
Ale jeśli będę miał:
\(\displaystyle{ -3 \sqrt{x}=-3 \sqrt{x}}\)
to wtedy mogę?

Podnoszenie do kwadratu jak obie strony nie są tego samego znaku może generować fantastyczne rozwiązania które nie są prawdziwe (oczywiście te prawdziwe również wychodzą), zresztą chyba to zauważyłeś podnosząc do kwadratu swoje pierwsze równanie.

Typowym przykładem gdzie generują się nieprawdziwe rozwiązania jest np. równanie

\(\displaystyle{ \cos{x} - \sin{x}=1}\)

Sam zobacz co Ci wyjdzie po podniesieniu stronami do kwadratu i porównaj te wyniki z równaniem wyjściowym.

Można sobie z tym poradzić na dwa sposoby, albo nie podnosić do kwadratu kiedy nie znamy znaku albo zwyczajnie sprawdzić potem które z rozwiązań są prawdziwe, a które nie.

[Pyroxar]

Coś tu nie gra. Punkt \(\displaystyle{ S=\left(0,\frac{1}{3}\right)}\) .

[Jan Kraszewski]

Przecinając prostą -symetralną odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) z prostą daną tj. rozwiązując układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}, \\ y = -3x -3 \end{cases}}\)

Źle wyznaczyłeś symetralną.

JK

[janusz47]

Sprawdzamy:

Współrzędne środka odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\):

\(\displaystyle{ x_{s}= \frac{-5 +0}{2} = -\frac{5}{2}, \ \ y_{s} = \frac{3+6}{2} = \frac{9}{2}}\)

Równanie symetralnej odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\):

\(\displaystyle{ y_{s} = -3x + c, \ \ \frac{9}{2} = \frac{15}{2} + c, \ \ c = \frac{-6}{2}= -3}\)

\(\displaystyle{ y_{s} = -3x -3}\)

Rozwiązując układ równań symetralnej z daną prostą otrzymujemy:

\(\displaystyle{ -3x -3 = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}, \ \ -9x -9 = x + 1, \ \ -10x = 10, \ \ x_{0}=-1, \ \ y_{0}= 3 -3 =0}\)

\(\displaystyle{ S = (-1, 0)}\)

Gdzie jest błąd?

[Jan Kraszewski]

Nie chce mi się sprawdzać Twoich rachunków, ale

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ A=(-5,3)}\) i \(\displaystyle{ \red B=(0,6)}\),

Równanie kanoniczne okręgu:

\(\displaystyle{ (x +1)^2 + y^2 = 25.}\)

Jesteś pewny, że punkt \(\displaystyle{ B}\) należy do Twojego okręgu?

@edit:
Już wiem, cały Twój model jest do niczego - zamiast brać prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ AB}\) rozpatrujesz prostą prostopadłą do prostej, na której ma leżeć środek. Żeby Twoja metoda zadziałała, musisz najpierw wyznaczyć równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\).

JK

[janusz47]

Korekta:

Przecinając prostą - symetralną odcinka \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) z prostą daną tj. rozwiązując układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}, \\ y = -\frac{5}{3}x +\frac{1}{3}\end{cases}}\)

otrzymujemy współrzędne środka okręgu: \(\displaystyle{ S = \left( 0, \frac{1}{3}\right )}\)

Promień okręgu: \(\displaystyle{ r = |AS| = \sqrt{(-5 -0)^2 +(3-1/3)^2}= \sqrt{25 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{289}{9}}= \frac{17}{3}}\)

Równanie kanoniczne okręgu:

\(\displaystyle{ x^2 + \left(y -\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{289}{9}}\)

Teraz jest poprawnie. Przepraszam za błąd!

[Jan Kraszewski]

Ten błąd jest dobrym przykładem na to, dlaczego nie jest dobrym pomysłem robienie zadań z geometrii analitycznej bez rysunków. Jak sprawdzałem rachunki janusza47, to wszystko mi się zgadzało, mimo że wiedziałem, że jest źle. Dopiero jak zrobiłem rysunek, to od razu zobaczyłem CO jest źle...

JK

[janusz47]

Zgadzam się, metody rozwiązania zadań - zwłaszcza zadań z geometrii, geometrii analitycznej wymagają rysunków. Bo metody pamięciowe zdawałoby się bezbłędne często zawodzą.