Znaleźć kąt pod jakim przecinają się proste

[p1udrak]

Znajdź kąt pod jakim przecinają się proste przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ P(1,1,1)}\) i położone na paraboloidzie hiperbolicznej \(\displaystyle{ z=xy}\)

Sparametryzowałem sobie powierzchnie:
\(\displaystyle{ r=[u,v,uv]}\)
Wzór na cosinus kąta znam, tylko jak wyznaczyć równanie prostych?

[kerajs]

Niech prostą leżącą na zadanej powierzchni będzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+at \\ t=1+bt \\ z=1+ct \end{cases}}\)
Leży ona na tej powierzchni gdy spełnia jej równanie :
\(\displaystyle{ 1+ct =(1+at )(1+bt )\\
t(a+b-c+abt)=0}\)
a jej wektor kierunkowy jest stały (niezależny od t) dla każdego t tylko wtedy gdy: \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\)
Daje to dwie szukane proste:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ t=1+ct \\ z=1+ct \end{cases} \vee \begin{cases} x=1+ct \\ t=1 \\ z=1+ct \end{cases}}\)
a łatwiej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ t=1+t \\ z=1+t \end{cases} \vee \begin{cases} x=1+t \\ t=1 \\ z=1+t \end{cases}}\)


PS
Dla formalności:
Trzeci przypadek: \(\displaystyle{ a=b=0}\) degeneruje prostą do punktu (1,1,1).