Kąt między prostymi i płaszczyznami

lolo666 · Post autor: **lolo666** » 31 sty 2018, o 17:33

Mam obliczyć kąt między podanymi prostymi i płaszczyznami.

a) Mam podane dwie proste \(\displaystyle{ l _{1}:\begin{cases} 4x-y+z=-12 \\ y-z=2\end{cases} \quad l _{2}:\begin{cases} 3x-2y=-16\\ 3x-z=0\end{cases}}\)

b) Płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi: x+y+z=0}\) i prostą \(\displaystyle{ l:\begin{cases} x+2y+3z=7\\ x+3y+2z=1\end{cases}}\)

Do pierwszego zadania to myślałem, żeby z równań płaszczyzn (bo jest to równanie krawędziowe prostej) "wyciągnąć" wektory normalne płaszczyzn i obliczyć ich iloczyn wektorowy, przez co wyjdzie mi wektor kierunkowy prostej. Kiedy wyznaczę oba wektory kierunkowe tych prostych, to obliczyć cosinus, korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny.

Do drugiego, to na pewno wyliczę wektor kierunkowy tej prostej, co do płaszczyzny to nie wiem, czy liczyć wektor normalny (w zasadzie to mam podany we wzorze na płaszczyznę) i liczyć cosinusa jak w przypadku 1 czy to robić coś innego?

Czy dobrze będę robił zadanie 1 czy to błąd? Chcę wiedzieć, czy dobrze rozumuję ogólnie geometrię analityczną, bo zadania w zasadzie nie są trudne.
PS. Jeśli cosinus wyjdzie mi jakaś brzydka liczba, to co zrobić na egzaminie? przykładowo wyjdzie mi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{21} }{6}}\) , to co wtedy? Liczę na pomoc i wskazówki. Pozdrawiam.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 31 sty 2018, o 19:48

lolo666 pisze:Do pierwszego zadania to myślałem, żeby z równań płaszczyzn (bo jest to równanie krawędziowe prostej) "wyciągnąć" wektory normalne płaszczyzn i obliczyć ich iloczyn wektorowy, przez co wyjdzie mi wektor kierunkowy prostej. Kiedy wyznaczę oba wektory kierunkowe tych prostych, to obliczyć cosinus, korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny.

Właśnie tak masz to obliczać.

lolo666 pisze:Do drugiego, to na pewno wyliczę wektor kierunkowy tej prostej, co do płaszczyzny to nie wiem, czy liczyć wektor normalny (w zasadzie to mam podany we wzorze na płaszczyznę) i liczyć cosinusa jak w przypadku 1 czy to robić coś innego?

Policz iloczyn skalarny wektora normalnego płaszczyzny i kierunkowego prostej. Zauważ że wyliczany w tym iloczynie kąt \(\displaystyle{ alpha}\) z szukanym kątem \(\displaystyle{ beta}\) łączy związek:
\(\displaystyle{ \beta =90^{\circ}-\alpha}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ \cos \alpha =\sin \beta}\)

lolo666 pisze:PS. Jeśli cosinus wyjdzie mi jakaś brzydka liczba, to co zrobić na egzaminie? przykładowo wyjdzie mi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{21} }{6}}\) , to co wtedy?

Często zależy to od wykładowcy. Jednemu wystarczy wynik \(\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{ \sqrt{21} }{6}}\) , innemu \(\displaystyle{ \alpha =\arccos \frac{ \sqrt{21} }{6}}\) , a jeszcze inny będzie oczekiwał prawidłowej obsługi tablic albo kalkulatora naukowego i wyniku liczbowego z minutową (na przykład) dokładnością.