Napisać równanie parametryczne prostej

[lolo666]

Napisać równanie parametryczne prostej:

a) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(1,2,3)}\) i równoległy do prostej \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y+z-3=0\\ 2x+y+5=0\end{cases}}\)

b) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(1,2,3)}\) i równoległy do płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi _{1}: x+y+z=0,\ \ \pi_{2}:x-y+z-7=0}\)

c) zawartej w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi: 2x-y+z+3=0}\) i prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l: \frac{x+4}{3}= \frac{y-3}{-1}= \frac{z+2}{3}}\)

Do a) wyznaczyłem wektory a następnie policzyłem ich iloczyn wektorowy, ale dalej nie mam pomysłu, nie wiem co zrobić. Liczę na wskazówki do tych trzech podpunktów. Pozdrawiam.

[janusz47]

a)

Z równania krawędziowego prostej \(\displaystyle{ l}\) wyznaczamy współrzędne wektora kierunkowego jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych przecinających się płaszczyzn.

Wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ \vec{l}= [a, b, c]}\) jest wektorem kierunkowym prostej a).

\(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{a}= \frac{y-2}{b}= \frac{z-3}{c}}\)

b)

Znajdujemy iloczyn wektorowy wektorów prostopadłych płaszczyzn \(\displaystyle{ [1,1,1] \times [1-1, 1]= [d, e, f]}\) .

\(\displaystyle{ b: \frac{x-1}{d}= \frac{y-2}{e}= \frac{z-3}{f}}\)

c)

Wektor prostopadły płaszczyzny \(\displaystyle{ [2,-1, 1]}\) jest wektorem prostopadłym do prostej c).

Iloczyn wektorowy tego wektora i wektora kierunkowego prostej prostopadłej \(\displaystyle{ [3,-1, 3]}\) jest wektorem kierunkowym \(\displaystyle{ [g, h, i]}\) prostej c).

Równanie prostej c):

\(\displaystyle{ c: \frac{x -p}{g}= \frac{y-q }{h}= \frac{z- r}{i}}\) , gdzie punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (p, q, r)}\) jest punktem wspólnym płaszczyzny i prostej c).

Np. \(\displaystyle{ (p, q , r) = (-1, 1, 0)}\)

[lolo666]

Co do c) to jak wyliczyć punkt wspólny płaszczyzny i prostej?

[janusz47]

Bierzemy dowolne współrzędne punktu, które spełniają równanie płaszczyzny. Bo prosta zawarta w płaszczyźnie ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Na przykład punkt o współrzędnych:

\(\displaystyle{ (p,q, r) = (-1, 1, 0)}\)

Proszę przeczytać podpunkt c).