Promień sfery wpisanej a objętość czworościanu, uogólnienie.

[samorajp]

Właśnie się dowiedziałem, że istnieje wzór na objętość czworościanu korzystający z promienia sfery opisanej:
\(\displaystyle{ V_3 = \frac{1}{3}r P}\) , gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień sfery, a \(\displaystyle{ P}\) pole powierzchni czworościanu.
Przypomina mi on wzór na pole trójkąta (nazwijmy je \(\displaystyle{ V_2}\) jako objętość 2-wymiarową) z danym promieniem okręgu wpisanego:
\(\displaystyle{ V_2 = \frac{1}{2}r P}\) , gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień okręgu, a \(\displaystyle{ P}\) obwód trójkąta.

Czy ktoś wie, czy ten wzór uogólnia się na wyższe wymiary w podobny sposób dla sympleksów \(\displaystyle{ n}\) wymiarowych, np. w taki sposób:
\(\displaystyle{ V_n = \frac{1}{n}r_n P_n}\) , gdzie \(\displaystyle{ V_n}\) to miara główna sympleksu, \(\displaystyle{ r_n}\) to promień sfery \(\displaystyle{ n}\) –wymiarowej, a \(\displaystyle{ P_n}\) to miara ograniczających sympleks hiperpłaszczyzn?

[a4karo]

Tak, i dowód w każdym wymiarze jest taki sam: dzielimy sympleks na sympleksy łącząc wierzchołki ze środkiem kuli wpisanej. Każdy z nich ma tę samą wysokość.

[samorajp]

Dziękuję.