Równnaie elipsy

[arti88]

Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Prosta \(\displaystyle{ l: x-y-5 = 0}\) jest styczna do elipsy o ogniskach w punktach \(\displaystyle{ F _{1} \left( -3,0 \right)}\) i \(\displaystyle{ F_{2}\left( 3,0 \right)}\). Znaleźć równanie elipsy.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 \wedge 3^2=a^2-b^2\\
\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{a^2-9}=1}\)
układ z parametrem \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{a^2-9}=1 \\ y=x-5 \end{cases}}\)
ma tylko jedno rozwiązanie (punkt styczności) więc:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{(x-5)^2}{a^2-9}=1 \wedge \Delta=0}\)

[janusz47]

Korzystamy z dwóch warunków:

- styczności,

- równania \(\displaystyle{ a^2 -b^2= c^2, \ \ a^2 - b^2 = 9.}\)

Układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = x-5, \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{(x-5)^2}{b^2}=1 \end{cases}}\)

musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie tzn, wyróżnik równania kwadratowego \(\displaystyle{ \Delta}\) powinien być równy zeru.

Wyznaczamy z tych warunków długości półosi elipsy \(\displaystyle{ a, b,}\) znajdując równanie elipsy.

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ \frac{1}{17}x^2 + \frac{1}{8}y^2 =1.}\)