Wyznacz równanie płaszczyzny

[lambdag]

Dane:
\(\displaystyle{ P=(1,1,2) \in \pi}\)
\(\displaystyle{ l \in \pi}\)
\(\displaystyle{ t \in R}\)
\(\displaystyle{ l:\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2+ 2t \\ z = 4 -3t\end{cases}}\)

Wzór na płaszczyznę to : \(\displaystyle{ A(x-x1) + B(y-y1) +C(z-z1) = 0}\)
Brakuje mi tylko wektora ale mogę go wziąć ze wzoru prostej z parametrem czyli mój wektor to:
\(\displaystyle{ \vec{a} = (-1, 2, -3)}\)

Czyli wzór na płaszczyznę to:
\(\displaystyle{ -1(x-1) + 2(y-1) +-3(z-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ -1x+2y-3z+5 = 0}\)

Pytanie czy dobrze zrobiłem takie zadanie??

[kerajs]

(...)
Wzór na płaszczyznę to : \(\displaystyle{ A(x-x1) + B(y-y1) +C(z-z1) = 0}\)
Brakuje mi tylko wektora ale mogę go wziąć ze wzoru prostej z parametrem czyli mój wektor to:
\(\displaystyle{ \vec{a} = (-1, 2, -3)}\)
(...)
Pytanie czy dobrze zrobiłem takie zadanie??

Niestety nie.
Wektor \(\displaystyle{ \left[ A,B,C\right]}\) czyli wektor normalny musi być prostopadły do płaszczyzny, a wybrany wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest do niej równoległy.
Bierzesz dowolny punkt prostej. Dla \(\displaystyle{ t=0}\) masz \(\displaystyle{ Q=(1,2,4)}\)
Szukany wektor normalny dostaniesz z iloczynu wektorowego:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \vec{a} \times \vec{QP}}\)

[lambdag]

Czyli nawet można byłoby inaczej, może głupiej może nie ale z tej równania prostej dobrać sobie 3 punkty i tak samo obliczyć wektor normalny dzięki iloczynowi wektorów?

Dzięki za pomoc!

[kerajs]

Jeżeli wybierzesz trzy punkty z prostej i utworzysz z nich dwa wektory, to iloczyn wektorowy tych wektorów wynosi 0 (bo kąt między nimi jest zerowy).
Wybierz raczej tylko dwa punkty z prostej (nazwę je A i B) i punkt P który do niej nie należy (bo gdyby należał to zadanie jest nie do zrobienia - dostaje się pęk płaszczyzn). Iloczyn wektorowy np wektorów AB i AP (albo PA i PB albo ..) da szukany wektor normalny. Płaszczyznę możesz zaczepić w dowolnym ze znanych Ci punktów (i tak wyjdzie to samo równanie (przy tym samym wektorze normalnym)).