Witam, proszę o pomoc w zadaniu z geometrii analitycznej.
Wyznacz na paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x^2}\) punkt, którego odległość od punktu \(\displaystyle{ A(8,-1)}\) jest najmniejsza. Podaj tę odległość.
Pozdrawiam.
Wyznaczanie najmniejszej odległości od punktu
-
Pilecki
Wyznaczanie najmniejszej odległości od punktu
Ostatnio zmieniony 22 sty 2018, o 21:32 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Wyznaczanie najmniejszej odległości od punktu
Metoda z zastosowaniem rachunku różniczkowego
\(\displaystyle{ d^2(x) = (x-8)^2 + \left(\frac{1}{2}x^2 +1^2\right)^2, \ \ x>0}\)
\(\displaystyle{ d'^2(x) = 2(x-8)+ (x^2+2)\cdot x= x^3 +4x -16.}\)
\(\displaystyle{ (d'^2(x) = 0) \leftrightarrow (x_{0}= 2).}\)
\(\displaystyle{ d'^2(x) = (x-2)(x^2+2x +2).}\)
\(\displaystyle{ d^{''}(x) = 3x^2 +4.}\)
\(\displaystyle{ d^{''}(2) = 16>0.}\)
\(\displaystyle{ d^{2}_{min} = d^2 (2)= (2-8)^2+(2+1)^2 = 36+9 =45}\)
\(\displaystyle{ d_{min}= \sqrt{45}= 3\sqrt{5}.}\)
\(\displaystyle{ d^2(x) = (x-8)^2 + \left(\frac{1}{2}x^2 +1^2\right)^2, \ \ x>0}\)
\(\displaystyle{ d'^2(x) = 2(x-8)+ (x^2+2)\cdot x= x^3 +4x -16.}\)
\(\displaystyle{ (d'^2(x) = 0) \leftrightarrow (x_{0}= 2).}\)
\(\displaystyle{ d'^2(x) = (x-2)(x^2+2x +2).}\)
\(\displaystyle{ d^{''}(x) = 3x^2 +4.}\)
\(\displaystyle{ d^{''}(2) = 16>0.}\)
\(\displaystyle{ d^{2}_{min} = d^2 (2)= (2-8)^2+(2+1)^2 = 36+9 =45}\)
\(\displaystyle{ d_{min}= \sqrt{45}= 3\sqrt{5}.}\)