Wyznaczyć równania stycznych.

[Vince221]

Wyznaczyć równania stycznych poprowadzonych:
a) z punktu \(\displaystyle{ (7,1)}\), do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=25}\).

Jak najprościej znaleźć punkt należący do okręgu? Jeżeli go już znajdę to wiem jak wyznaczyć prostą przechodzącą przez dwa punkty (czyli w tym wypadku będzie to styczna do okręgu).

Czy mogę zrobić takie równanie: \(\displaystyle{ x * 7 + y * 1 = 25}\) oraz z równania okręgu \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 25}\) i zrobić z nich układ równań? Mimo tego, że punkt \(\displaystyle{ (7,1)}\) nie należy do okręgu??

[Belf]

Z pęku prostych przechodzących przez punkt: \(\displaystyle{ (7;1)}\) wybieramy te, które mają jeden punkt wspólny z okręgiem.

Tutaj pęk prostych ma równanie:\(\displaystyle{ y = a(x - 7) + 1}\)

[Vince221]

I właśnie tutaj mam największy problem... jak znaleźć współczynnik kierunkowy "a" ??

[Belf]

Podstawiaz równanie pęku prostych do równania okregu.Otrzymujesz równanie kwadratowe z parametrem: \(\displaystyle{ a}\) i nakładasz warunek, aby miało ono tylko jedno rozwiązanie.

[AiDi]

Wstawiasz równanie prostej do równania okręgu otrzymując równanie kwadratowe z parmetrem \(\displaystyle{ a}\). Wiesz że to równanie ma mieć jedno rozwiązanie (styczność), a więc wyróżnik musi być równy zeru.

EDIT: Belf mnie ubiegł

[janusz47]

W przypadku, gdy środek okręgu leży w początku układu współrzędnych równanie stycznej do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0} )}\) ma postać:

\(\displaystyle{ x\cdot x_{0} + y\cdot y_{0} = 25,}\) ale warunkiem koniecznym jest, aby punkt \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0} )}\) należał do okręgu.

W Twoim przypadku, napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej rzez punkt \(\displaystyle{ (7, 1)}\) (jak napisal Belf).

Rozwiąż układ równań okręgu i prostej, żądając, by wyróżnik równania kwadratowego z parametrem \(\displaystyle{ a}\) \(\displaystyle{ (\Delta =0)}\) (aby prosta miała z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny).

[MrCommando]

Proponuję jeszcze inaczej: szukane styczne będą prostymi przechodzącymi przez punkt \(\displaystyle{ (7,1)}\) i odległymi od środka okręgu o \(\displaystyle{ 5}\) (czyli o promień). Proste przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ (7,1)}\) opisuje równanie ogólne postaci \(\displaystyle{ ax-y-7a+1=0}\). Następnie korzystamy ze wzoru na odległosć punktu od prostej i otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ \left| 7a-1\right|=5 \sqrt{a^2+1}}\). I po temacie.

[Vince221]

Czyli mam rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y - 1 = m(x - 7) \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}}\)

Wtedy z pierwszego równania wyznaczam \(\displaystyle{ y = m (x - 7) + 1}\).

I podstawiam do równania okręgu: \(\displaystyle{ x^2 + (m(x-7)+1) ^ 2 = 25}\) ???

Wtedy mi jakieś kosmiczne rzeczy wychodzą... np. \(\displaystyle{ x^2 m^2...}\) i z niczym się to nie skraca...

Chyba mam jakieś zaćmienie umysłu

[Belf]

Bo nic się nie ma skracać. Porzadkujesz do postaci równania kwadratowego:\(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c=0}\)
i nakładasz warunek: \(\displaystyle{ \Delta=0}\)

[AiDi]

Wtedy mi jakieś kosmiczne rzeczy wychodzą... np. \(\displaystyle{ x^2 m^2...}\) i z niczym się to nie skraca...

A to nie rozwiązywałeś nigdy zadań z serii "dla jakiej wartości parametru..."?

[Vince221]

Pamiętam tylko coś z przecięciem się osi OX, że wtedy za \(\displaystyle{ y = 0}\)... A z tym układem serio mam jakiś problem

[Belf]

Wszystko powymnażaj i przenieś na lewą stronę.Poredukuj i powyłączaj przed nawiaswyrażenie \(\displaystyle{ x^2}\) orax \(\displaystyle{ x}\), czyli doprowadź równanie do postaci:

\(\displaystyle{ Ax^2 + Bx + C =0}\)

Teraz rozwiązujesz równanie:\(\displaystyle{ \Delta=B^2-4AC = 0}\), które ma tylko jedną niewiadomą:\(\displaystyle{ a}\)