Znaleźć równanie hiperboli

[Stap]

Napisać rownanie hiperboli o ogniskach \(\displaystyle{ F_{1} =(2,1)}\) i \(\displaystyle{ F_{2}=(0,1)}\) i asymptotach których współczynniki kierunkowe są równe \(\displaystyle{ \pm 1}\) .Podać równanie tych asymptot.
Od czego zacząć w takim zadaniu?

[kerajs]

Hiperbola:
\(\displaystyle{ \frac{(x-p)^2}{a^2}- \frac{(y-q)^2}{b^2}=1}\)
ma ogniska:
\(\displaystyle{ F_1=(p-c,q) \ , \ F_2=(p+c,q)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p-c=0 \\ p+c=2 \\ q=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ c=p=q=1}\)
i równanie :
\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{a^2}- \frac{(y-1)^2}{b^2}=1}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \pm \frac{b}{a}= \pm 1 \ \ \wedge \ \ b^2=c^2-a^2}\)
\(\displaystyle{ a=b= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
więc równanie szukanej hiperboli to:
\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{(\frac{ \sqrt{2} }{2})^2}- \frac{(y-1)^2}{(\frac{ \sqrt{2} }{2})^2}=1}\)

[Stap]

Czy to ma znaczenie które ognisko wybierzemy jak bierzemy \(\displaystyle{ p-c}\) i \(\displaystyle{ p+c}\) ?

[kerajs]

Tak, ma to znaczenie gdyż z założenia współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dodatnie więc \(\displaystyle{ p-c<p+c}\)
Jeśli wybierzemy odwrotnie, to z układ równań z poprzedniego postu dostanie się \(\displaystyle{ c}\) ujemne, czyli sprzeczne z założeniem.