Równanie prostej, szukanie cosinusa.

[Vince221]

Treść zadania:
Napisać równanie prostej o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(2;-2)}\). Ile wynosi kosinus kąta nachylenia tej prostej do dodatniej osi odciętych?

Dane:
\(\displaystyle{ A(2;-2)}\) oraz \(\displaystyle{ a = \sqrt{3}}\)

Wzory:
\(\displaystyle{ a = \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1}\)

Równanie kierunkowe prostej \(\displaystyle{ y = ax + b}\), więc podstawiam \(\displaystyle{ a = \sqrt{3}}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A(2,-2)}\)

\(\displaystyle{ -2 = \sqrt{3} \cdot 2 + b}\), stąd \(\displaystyle{ b = -2 -2\sqrt{3}}\)

Więc równanie prostej to: \(\displaystyle{ y = \sqrt{3}x - 2 - 2\sqrt{3}}\) <--- PIERWSZA CZĘŚĆ ZADANIA

I teraz musimy wyliczyć \(\displaystyle{ \cos \alpha}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sqrt{3}\\ \sin ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1 \end{cases}}\)

Z pierwszego równania wyznaczam \(\displaystyle{ \sin \alpha}\):

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \sqrt{3} \cdot \cos \alpha}\)

Podstawiam do drugiego:

\(\displaystyle{ (\sqrt{3} \cdot \cos \alpha)^2 + \cos ^2\alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ 3 \cdot \cos ^2\alpha + \cos ^2\alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ 4\cos ^2\alpha = 1 /:4}\)

\(\displaystyle{ \cos ^2\alpha = \frac{1}{4}}\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ \cos \alpha = - \frac{1}{2}}\) LUB \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\) <--- DRUGA CZĘŚĆ ZADANIA

Czy tok rozumienia oraz odpowiedź są prawidłowe?

[Belf]

Tak.

[a4karo]

Nie do końca. Kat między prostymi jest jeden, więc nie może mieć dwóch kosinusow.

Przyjrzyj się definicji kąta...

[Vince221]

W takim wypadku wydaje mi się, że jeżeli przyprostokątną będzie dodatnia oś OX, a przeciwprostokątną będzie prosta wyznaczona wzorem \(\displaystyle{ y = \sqrt{3}x - 2 - 2\sqrt{3}}\) to przetnie się ona gdzieś w jakimś punkcie z osią OX, gdzie punkt ten będzie dodatni. Wiedząc, że \(\displaystyle{ cos = \frac{przyprostokątna (OX)}{prosta}}\) to \(\displaystyle{ cos}\) będzie wartością ujemną, więc prawidłową odpowiedzią powinno być: \(\displaystyle{ cos\alpha = - \frac{1}{2}}\)

Bo kąt którego szukamy będzie w miejscu przecięcia się osi OX oraz prostej.

Czy już się pogubiłem?

Schematyczny rysunek mojego wyobrażenia:

Kod: Zaznacz cały

https://imgbb.com/

AU

wektor.png (5.7 KiB) Przejrzano 220 razy

[/url]

[Belf]

Nie do końca. Kat między prostymi jest jeden, więc nie może mieć dwóch kosinusow.

Istnieją dwie proste spełniające warunki tego zadania. Jedna tworzy z dodatnią osią OX kąt 60 stopni,
natomiast druga kąt 120 stopni.

Odpowiadające tym punktom cosinusy, to: \(\displaystyle{ \cos 60^0 = \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 120^0 =- \frac{1}{2}}\)

Co ma to tego kąt pomiedzy tymi prostymi ?

[DamianTancerz]

Istnieją dwie proste spełniające warunki tego zadania.

\(\displaystyle{ -2 = \sqrt(3) 2 + b}\)
\(\displaystyle{ -2 = \sqrt(3) 2 + c}\)
to \(\displaystyle{ b = c}\)

Muszę się zgodzić z a4karo, jeden tangens, jeden kosinus.

[Vince221]

Czyli który cosinus jest prawidłowy? Bo ja chyba nie potrafię tego wyjaśnić...

[a4karo]

Nie do końca. Kat między prostymi jest jeden, więc nie może mieć dwóch kosinusow.

Istnieją dwie proste spełniające warunki tego zadania. Jedna tworzy z dodatnią osią OX kąt 60 stopni,
natomiast druga kąt 120 stopni.

Odpowiadające tym punktom cosinusy, to: \(\displaystyle{ \cos 60^0 = \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 120^0 =- \frac{1}{2}}\)

Co ma to tego kąt pomiedzy tymi prostymi ?

Prosta o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ \sqrt3}\) jest tylko jedna

[DamianTancerz]

Czyli który cosinus jest prawidłowy? Bo ja chyba nie potrafię tego wyjaśnić...

W tym zadaniu może być mowa tylko o cosinusie kąta ostrego.

[Belf]

Zgoda. Moja pomyłka ,więc przepraszam za wprowadzenie w błąd.