Witam wszystkich, chciałbym dowiedzieć się czy mój sposób rozwiązania zadania jest prawidłowy.
Polecenie:
Napisać równanie prostej, która przechodzi przez punkt A (1,1) i nachylonej do dodatniej osi x pod kątem ostrym, którego \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{3}}\)
Dane:
\(\displaystyle{ A(1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{3}}\) i dodatkowo musi być kąt pomiędzy prostą a dodatnią osią OX.
Wzory:
Współczynnik kierunkowy prostej:\(\displaystyle{ a = tg \alpha = \frac {sin\alpha}{cos\alpha}}\) oraz jedynka trygonometryczna \(\displaystyle{ cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1}\)
Rozwiązanie:
Wyznaczam z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ cos\alpha}\), a więc:
\(\displaystyle{ cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2}\)
\(\displaystyle{ cos^2\alpha =\frac{8}{9}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = - \frac{ 2\sqrt{2}}{3}}\) LUB \(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{ 2\sqrt{2}}{3}}\)
Podstawiam więc do wzoru na \(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}}\). aby obliczyć współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a = tg\alpha}\)
Wychodzi: \(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}}\)
Wzór kierunkowy prostej: \(\displaystyle{ y = ax + b}\), więc wyliczam \(\displaystyle{ b}\) podstawiając \(\displaystyle{ a}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A(1,1)}\).
\(\displaystyle{ 1 = \frac{\sqrt{2}}{4} * 1 + b}\)
\(\displaystyle{ b = - \frac{\sqrt{2}}{4} + 1 = - \frac{(-4) + \sqrt{2}}{4}}\)
I stąd wynika, że szukana prosta to:
ODPOWIEDŹ: \(\displaystyle{ y = \frac{\sqrt{2}}{4}x - \frac{(-4) + \sqrt{2}}{4}}\)
Czy jest to poprawna odpowiedź?
Równanie prostej + trygonometria.
- Vince221
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 19 lis 2017, o 16:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Re: Równanie prostej + trygonometria.
Dziękuję za szybką odpowiedź!
Pytanie tylko jeszcze dotyczące wartości wyliczonego \(\displaystyle{ cos\alpha}\), jeżeli mamy wartość ujemną i dodatnią to zawsze podstawiać tylko dodatnią?
Pytanie tylko jeszcze dotyczące wartości wyliczonego \(\displaystyle{ cos\alpha}\), jeżeli mamy wartość ujemną i dodatnią to zawsze podstawiać tylko dodatnią?
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Równanie prostej + trygonometria.
Nie, musimy uwzglednić też: \(\displaystyle{ cos \alpha = -\frac{2 \sqrt{2} }{3}}\),czyli dostaniemy drugą prostą spełniającą warunki zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Równanie prostej + trygonometria.
Niekoniecznie. Znaczy, zazwyczaj tak się dzieje, ale w tym wypadku zadanie definiuje, że kąt ma być ostry.Belf pisze:Nie, musimy uwzglednić też: \(\displaystyle{ cos \alpha = -\frac{2 \sqrt{2} }{3}}\),czyli dostaniemy drugą prostą spełniającą warunki zadania.