Równanie prostej + trygonometria.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
Vince221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 19 lis 2017, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Równanie prostej + trygonometria.

Post autor: Vince221 »

Witam wszystkich, chciałbym dowiedzieć się czy mój sposób rozwiązania zadania jest prawidłowy.

Polecenie:
Napisać równanie prostej, która przechodzi przez punkt A (1,1) i nachylonej do dodatniej osi x pod kątem ostrym, którego \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{3}}\)


Dane:
\(\displaystyle{ A(1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{1}{3}}\) i dodatkowo musi być kąt pomiędzy prostą a dodatnią osią OX.

Wzory:
Współczynnik kierunkowy prostej:\(\displaystyle{ a = tg \alpha = \frac {sin\alpha}{cos\alpha}}\) oraz jedynka trygonometryczna \(\displaystyle{ cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1}\)

Rozwiązanie:
Wyznaczam z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ cos\alpha}\), a więc:
\(\displaystyle{ cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2}\)

\(\displaystyle{ cos^2\alpha =\frac{8}{9}}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha = - \frac{ 2\sqrt{2}}{3}}\) LUB \(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{ 2\sqrt{2}}{3}}\)

Podstawiam więc do wzoru na \(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}}\). aby obliczyć współczynnik kierunkowy \(\displaystyle{ a = tg\alpha}\)

Wychodzi: \(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}}\)

Wzór kierunkowy prostej: \(\displaystyle{ y = ax + b}\), więc wyliczam \(\displaystyle{ b}\) podstawiając \(\displaystyle{ a}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A(1,1)}\).

\(\displaystyle{ 1 = \frac{\sqrt{2}}{4} * 1 + b}\)

\(\displaystyle{ b = - \frac{\sqrt{2}}{4} + 1 = - \frac{(-4) + \sqrt{2}}{4}}\)

I stąd wynika, że szukana prosta to:

ODPOWIEDŹ: \(\displaystyle{ y = \frac{\sqrt{2}}{4}x - \frac{(-4) + \sqrt{2}}{4}}\)


Czy jest to poprawna odpowiedź?
Ostatnio zmieniony 11 sty 2018, o 11:13 przez Vince221, łącznie zmieniany 1 raz.
Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Równanie prostej + trygonometria.

Post autor: Belf »

Poprawna.
Awatar użytkownika
Vince221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 19 lis 2017, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Równanie prostej + trygonometria.

Post autor: Vince221 »

Dziękuję za szybką odpowiedź!

Pytanie tylko jeszcze dotyczące wartości wyliczonego \(\displaystyle{ cos\alpha}\), jeżeli mamy wartość ujemną i dodatnią to zawsze podstawiać tylko dodatnią?
Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Równanie prostej + trygonometria.

Post autor: Belf »

Nie, musimy uwzglednić też: \(\displaystyle{ cos \alpha = -\frac{2 \sqrt{2} }{3}}\),czyli dostaniemy drugą prostą spełniającą warunki zadania.
Zymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 140
Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Równanie prostej + trygonometria.

Post autor: Zymon »

Belf pisze:Nie, musimy uwzglednić też: \(\displaystyle{ cos \alpha = -\frac{2 \sqrt{2} }{3}}\),czyli dostaniemy drugą prostą spełniającą warunki zadania.
Niekoniecznie. Znaczy, zazwyczaj tak się dzieje, ale w tym wypadku zadanie definiuje, że kąt ma być ostry.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie prostej + trygonometria.

Post autor: a4karo »

Dlatego rozwiązanie jest niekompletne. Powinieneś podać powód odrzucenia ujemnego kosinusa.
ODPOWIEDZ