1.Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt A

[Andrew202]

Witam. Potrzebuje pomocy z dwoma zadaniami:

1. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A=(-1;3)}\) i prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ w=4i-5j}\) .

2. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A=(-3;2)}\) i równoległej do wektora \(\displaystyle{ v=i-j}\) .

[kerajs]

Jeden z możliwych wariantów rozwiązania:

Wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ y=ax+b}\) to: \(\displaystyle{ \left[ 1,a\right]}\).

\(\displaystyle{ \vec{w} =4i-5j=\left[ 4,-5\right]= 4 \left[ 1, \frac{-5}{4} \right]}\)

Stąd Twoje zadanie jest równoważne takiemu:
1. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A=(-1;3)}\) i prostopadłej do prostej o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ a=\frac{-5}{4}}\) .

Teraz umiesz je rozwiązać?

inaczej:    

Niech wektorem prostopadłym będzie \(\displaystyle{ \left[ p,q\right]}\). Jest on prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \left[4,-5 \right]}\) więc:
\(\displaystyle{ \left[p,q \right]\circ\left[4,-5 \right]=0 \Rightarrow 4p-5q=0 \Rightarrow q= \frac{4}{5}p}\)
Szukana prosta ma równanie:
\(\displaystyle{ \frac{x-(-1)}{p}= \frac{y-3}{\frac{4}{5}p}\\
4(x+1)=5(y-3)}\)

[Belf]

Inny sposób:

Wektor szukanej prostej musi być prostopadły do wektora\(\displaystyle{ \left[ 4;-5\right]}\) , a więc może to być wektor:\(\displaystyle{ \left[ 5;4\right]}\)

Zatem szukana prosta w postaci parametrycznej:

\(\displaystyle{ x=-1+5t}\)
\(\displaystyle{ y=3+4t}\)

A postać ogólna:
\(\displaystyle{ y=3 +4( \frac{x+1}{5}) \Leftrightarrow 5y=15+4x+4 \Leftrightarrow -4x+5y-19=0}\)

[Vince221]

W takim razie zadanie 2 powinno wyglądać tak?

Punkt \(\displaystyle{ A=(-3,2)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec {v} = \vec {i} - \vec {j}}\) i znaleźć równanie prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ A}\) oraz równoległej do podanego wektora.

Jeżeli \(\displaystyle{ y = ax + b}\) oraz \(\displaystyle{ [1,a]}\)

\(\displaystyle{ \vec{v} = [1, -1]}\) to wtedy \(\displaystyle{ a = -1}\)

\(\displaystyle{ A(-3,2)}\) i \(\displaystyle{ a = -1}\)

\(\displaystyle{ 2 = -1(-3)+b}\) stąd \(\displaystyle{ b = -1}\)

Czyli rozwiązaniem zadania jest: \(\displaystyle{ y = -x -1}\) ?


I jeszcze małe pytanie: czy można z samego wektora wyznaczyć równanie kierunkowe prostej utworzonej przez ten wektor?

Na przykład wektor \(\displaystyle{ \vec {v} = -5\vec {i} + 3\vec {j}}\) utworzy prostą: \(\displaystyle{ y = -5x + 3}\) ? Czy jest to błąd?

[Belf]

Wektor kierunkowy wyznacza nieskończenie wiele prostych równoległych do kierunku danego wektora.

[Vince221]

Wektor kierunkowy wyznacza nieskończenie wiele prostych równoległych do kierunku danego wektora.

Okej, dziękuję teraz mi się rozjaśniło

A czy dobrze znalazłem równanie prostej równoległej do wektora przechodzącą przez punkt?

[Belf]

Dobrze.