Pokaż, że działanie odwzorowania Weingartena S torusa o parametryzacji:
\(\displaystyle{ x(u,v) = \big((R+r\cos u)\cos v, (R+r\cos u)\sin v,\,r\sin u\big)}\)
na wektory bazowe jest zadane wzorami:
\(\displaystyle{ S(X_u) = -\frac{X_u}{r}}\) oraz \(\displaystyle{ S(X_v) = \frac{-X_v\cos u}{R+r\cos u}}\)
Będę bardzo wdzięczna za wszelakie wskazówki i pomoc. Kompletnie nie wiem jak ruszyć.
Odwzorowania Weingartena S torusa
Odwzorowania Weingartena S torusa
Ostatnio zmieniony 8 sty 2018, o 02:35 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Odwzorowania Weingartena S torusa
\(\displaystyle{ \textbf x(u, v) = [(R +r\cos(u))\cos(v), (R +r\cos(u))\sin(v), r\sin(u)].}\)
Normalna do powierzchni torusa:
\(\displaystyle{ \textbf{N}= [\cos(v)\cos(u), \sin(v)\cos(u), \sin(u)]}\)
Obliczając pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ \textbf{N}}\) względem \(\displaystyle{ u, v}\) znajdujemy postać kierunkową przekształcenia Weingartena:
\(\displaystyle{ -S(\textbf x_{u}) = N_{u} = [ -\cos(v)\sin(u), -\sin(v)\sin(u), \cos(u)]}\) (1)
\(\displaystyle{ -S(\textbf x_{v}) = N_{v} = [ -sin(v)\cos(u), \cos(v)\cos(u), 0]}\) (2)
Porównując odpowiednio współrzędne wektorów (1), (2) ze współrzędnymi wektorów stycznych (pochodnych cząstkowych parametryzacji):
\(\displaystyle{ \textbf x_{u} = [-r\cos(v)\sin(u), -r\sin(v)\sin(u), r\cos(u)]}\)
\(\displaystyle{ \textbf x_{v} = [-(R + r\cos(u))\sin(v), (R + r\cos(u))\cos(v), 0]}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ S(\textbf x_{u}) = -\frac{1}{r}\textbf x_{u}}\)
\(\displaystyle{ S(\textbf x_{v}) =-\frac{\cos(u)}{R +r\cos(u)}\textbf x_{v}.}\)
Normalna do powierzchni torusa:
\(\displaystyle{ \textbf{N}= [\cos(v)\cos(u), \sin(v)\cos(u), \sin(u)]}\)
Obliczając pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ \textbf{N}}\) względem \(\displaystyle{ u, v}\) znajdujemy postać kierunkową przekształcenia Weingartena:
\(\displaystyle{ -S(\textbf x_{u}) = N_{u} = [ -\cos(v)\sin(u), -\sin(v)\sin(u), \cos(u)]}\) (1)
\(\displaystyle{ -S(\textbf x_{v}) = N_{v} = [ -sin(v)\cos(u), \cos(v)\cos(u), 0]}\) (2)
Porównując odpowiednio współrzędne wektorów (1), (2) ze współrzędnymi wektorów stycznych (pochodnych cząstkowych parametryzacji):
\(\displaystyle{ \textbf x_{u} = [-r\cos(v)\sin(u), -r\sin(v)\sin(u), r\cos(u)]}\)
\(\displaystyle{ \textbf x_{v} = [-(R + r\cos(u))\sin(v), (R + r\cos(u))\cos(v), 0]}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ S(\textbf x_{u}) = -\frac{1}{r}\textbf x_{u}}\)
\(\displaystyle{ S(\textbf x_{v}) =-\frac{\cos(u)}{R +r\cos(u)}\textbf x_{v}.}\)