Punkt wspólny dwoch prostych.

[Big_Boss1997]

Dzień dobry! Mam dwa równania prostych:

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 3x - 2y + z = 3\\ x - 2z = 0 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x = \frac{-13}{7} + \frac{1}{7}t \\ y = -\frac{43}{7} + \frac{-8}{7}t \\ z = t\end{cases}}\)

Z tego mam pytanie: jeżeli przerobję drugi układ do postaci krawędziowej, to mam wynik. Ale jeżeli spróbuję przerobić pierwszy układ do parametrycznej, to nie mogę dostać odpowiedż. Z tego myśłę, że nie prawidłowo to robię. Proszę sprawdzić, czy to ten układ jest dobry (pierwszy układ do postaci parametrycznej):

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = 2s \\ y= \frac{-3}{2} + \frac{7}{2}s \\ z = s\end{cases}}\)

[kerajs]

Proszę sprawdzić, czy to ten układ jest dobry (pierwszy układ do postaci parametrycznej):

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = 2s \\ y= \frac{-3}{2} + \frac{7}{2}s \\ z = s\end{cases}}\)

To prawidłowa postać parametryczna.
Jedna z nieskończenie wielu możliwych, gdyż jako punkt zaczepienia prostej można wybrać dowolny z jej punktów, jak i wektor kierunkowy można dowolnie rozciągać.

[Big_Boss1997]

kerajs, wtedy jak otrzymać współrzędne punktu, gdzie te dwie proste się przecinają?

[kerajs]

Wystarczy rozwiązać układ z obu prostych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} l \\ k \end{cases}}\)
w dowolnej postaci. Np:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \begin{cases} 3x - 2y + z = 3\\ x - 2z = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x = \frac{-13}{7} + \frac{1}{7}t \\ y = -\frac{43}{7} + \frac{-8}{7}t \\ z = t \end{cases} \end{cases}}\)
albo
\(\displaystyle{ \begin{cases} \begin{cases} x = 2s \\ y= \frac{-3}{2} + \frac{7}{2}s \\ z = s\end{cases} \\ \begin{cases} x = \frac{-13}{7} + \frac{1}{7}t \\ y = -\frac{43}{7} + \frac{-8}{7}t \\ z = t \end{cases} \end{cases}}\)

Najczęściej jest on sprzeczny gdyż proste w przestrzeni rzadko się przecinają.