Geometria ròżniczkowa
Geometria ròżniczkowa
Znaleźć krzywiznę i skręcenie krzywej \(\displaystyle{ r(t)=(3t-t ^{3} , 3 t^{2}, 3t+t^3)}\) .
Ostatnio zmieniony 14 gru 2017, o 06:17 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Geometria ròżniczkowa
Krzywizna krzywej
1.Wprowadzamy parametr drogi \(\displaystyle{ s}\) krzywej:
\(\displaystyle{ s(\varsigma) = \int_{0}^{\varsigma}\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)}dt.}\)
2.Wyznaczamy funkcje odwrotną \(\displaystyle{ \varsigma(s).}\)
3. Wyznaczamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{r}(\varsigma).}\)
4. Obliczamy współrzędne wektora stycznego \(\displaystyle{ \vec{T}(s)= \vec{r'}(\varsigma).}\)
5. Obliczamy współrzędne wektora pochodnej \(\displaystyle{ \vec{T'}(s).}\)
6. Wyznaczamy krzywizną krzywej \(\displaystyle{ \kappa = \left |\vec{T'}(s)\right|.}\)
Skręcenie krzywej
Torsję (skręcenie) krzywej wyznaczamy, obliczając pochodną wektora binormalnego \(\displaystyle{ \vec{B}.}\)
\(\displaystyle{ \vec{B}(s) = \vec{T}(s) \times \vec{N}(s)}\) (iloczyn wektorowy)
i określając normę tego wektora \(\displaystyle{ |\tau| = |B'(s)|.}\)
1.Wprowadzamy parametr drogi \(\displaystyle{ s}\) krzywej:
\(\displaystyle{ s(\varsigma) = \int_{0}^{\varsigma}\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)}dt.}\)
2.Wyznaczamy funkcje odwrotną \(\displaystyle{ \varsigma(s).}\)
3. Wyznaczamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{r}(\varsigma).}\)
4. Obliczamy współrzędne wektora stycznego \(\displaystyle{ \vec{T}(s)= \vec{r'}(\varsigma).}\)
5. Obliczamy współrzędne wektora pochodnej \(\displaystyle{ \vec{T'}(s).}\)
6. Wyznaczamy krzywizną krzywej \(\displaystyle{ \kappa = \left |\vec{T'}(s)\right|.}\)
Skręcenie krzywej
Torsję (skręcenie) krzywej wyznaczamy, obliczając pochodną wektora binormalnego \(\displaystyle{ \vec{B}.}\)
\(\displaystyle{ \vec{B}(s) = \vec{T}(s) \times \vec{N}(s)}\) (iloczyn wektorowy)
i określając normę tego wektora \(\displaystyle{ |\tau| = |B'(s)|.}\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Geometria ròżniczkowa
Krzywiznę krzywej można łatwo policzyć za pomocą interpretacji z mechaniki.
Jeśli cząstka poruszała by się torem \(\displaystyle{ r(t)=\left[ x(t),y(t),z(t)\right]}\) to:
prędkość jest równa \(\displaystyle{ r'(t)=\left[ x'(t), y'(t), z'(t)\right]}\) a co do wartości
\(\displaystyle{ v(t)= \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }}\)
Analogicznie przyspieszenie \(\displaystyle{ r''(t)=\left[ x''(t), y''(t), z''(t)\right]}\) co do wartości
\(\displaystyle{ a(t)= \sqrt{\left( x''(t)\right)^2 +\left( y''(t)\right)^2 +\left( z''(t)\right)^2 }}\)
Powyższy wzór wyraża przyspieszenie całkowite cząstki policzone jako wektorowa suma składowych przyspieszeń w układzie kartezjańskim. Można jednak przyspieszenie policzyć w jako wektorową sumę przyspieszenia stycznego i normalnego.
\(\displaystyle{ a_n= \frac{v^2(t)}{\rho (t)}= \frac{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }{\rho (t)}}\) (gdzie \(\displaystyle{ \rho (t)}\) to promień krzywizny)
\(\displaystyle{ a_{\tau}= \frac{ \mbox{d}v}{ \mbox{d}t}= \frac{ x'(t) x''(t)+ y'(t) y''(t)+ z'(t) z''(t)}{ \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }}}\) (po to wypisałem wzór na prędkość na początku.)
Teraz zgodnie z tym że są to te same przyspieszenia zapisujemy
\(\displaystyle{ a= \sqrt{a_n^2 +a_{\tau}^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( x''(t)\right)^2 +\left( y''(t)\right)^2 +\left( z''(t)\right)^2 }= \sqrt{\left( \frac{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }{{\red{\rho (t)}}}\right)^2+\left(\frac{ x'(t) x''(t)+ y'(t) y''(t)+ z'(t) z''(t)}{ \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }} \right)^2 }}\)
Po kilku rutynowych przekształceniach otrzymujemy wzór na \(\displaystyle{ \rho (t)}\) zależny od określonej krzywej w sposób parametryczny i od punktu \(\displaystyle{ t}\)
Jeśli cząstka poruszała by się torem \(\displaystyle{ r(t)=\left[ x(t),y(t),z(t)\right]}\) to:
prędkość jest równa \(\displaystyle{ r'(t)=\left[ x'(t), y'(t), z'(t)\right]}\) a co do wartości
\(\displaystyle{ v(t)= \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }}\)
Analogicznie przyspieszenie \(\displaystyle{ r''(t)=\left[ x''(t), y''(t), z''(t)\right]}\) co do wartości
\(\displaystyle{ a(t)= \sqrt{\left( x''(t)\right)^2 +\left( y''(t)\right)^2 +\left( z''(t)\right)^2 }}\)
Powyższy wzór wyraża przyspieszenie całkowite cząstki policzone jako wektorowa suma składowych przyspieszeń w układzie kartezjańskim. Można jednak przyspieszenie policzyć w jako wektorową sumę przyspieszenia stycznego i normalnego.
\(\displaystyle{ a_n= \frac{v^2(t)}{\rho (t)}= \frac{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }{\rho (t)}}\) (gdzie \(\displaystyle{ \rho (t)}\) to promień krzywizny)
\(\displaystyle{ a_{\tau}= \frac{ \mbox{d}v}{ \mbox{d}t}= \frac{ x'(t) x''(t)+ y'(t) y''(t)+ z'(t) z''(t)}{ \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }}}\) (po to wypisałem wzór na prędkość na początku.)
Teraz zgodnie z tym że są to te same przyspieszenia zapisujemy
\(\displaystyle{ a= \sqrt{a_n^2 +a_{\tau}^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( x''(t)\right)^2 +\left( y''(t)\right)^2 +\left( z''(t)\right)^2 }= \sqrt{\left( \frac{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }{{\red{\rho (t)}}}\right)^2+\left(\frac{ x'(t) x''(t)+ y'(t) y''(t)+ z'(t) z''(t)}{ \sqrt{\left( x'(t)\right)^2 +\left( y'(t)\right)^2 +\left( z'(t)\right)^2 }} \right)^2 }}\)
Po kilku rutynowych przekształceniach otrzymujemy wzór na \(\displaystyle{ \rho (t)}\) zależny od określonej krzywej w sposób parametryczny i od punktu \(\displaystyle{ t}\)