Położenie prostej i płaszczyzny względem siebie

[Uejack]

Zbadać jak względem siebie leżą prosta

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x =2 + t \\ y = 2 +3t \\ z = 1+t \end{cases}}\)
i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi : x-2y + 5z -3 = 0}\)

oraz napisać równanie ogólne płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) i zawierające tę prostą.

Zacząłem od wyliczenia punktu zawartego na tej prostej \(\displaystyle{ P = (2,2, 1)}\)
oraz wektora kierunkowego prostej, nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{w}}\) , oraz wektora prostopadłego do płaszczyzny, nazwijmy go \(\displaystyle{ \vec{u}}\) .
\(\displaystyle{ \vec{w} =(1,3,1),\ \vec{u} = (1,-2,5)}\)

Następnie ze wzoru na cosinus kąta pomiędzy wektorami, wyliczyłem, że cosinus jest równy \(\displaystyle{ 0}\) , jednak to jest cosinus kąta \(\displaystyle{ \beta}\) , a równocześnie sinus kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) , więc wektory są do siebie równoległe, czyli prosta jest prostopadła do płaszczyzny.

Następnie, by wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny prostopadłej potrzebowałem wektor który jest do niej prostopadły, co obliczyłem z iloczynu wektorowego. \(\displaystyle{ \vec{w} \times \vec{u} = (17,-4,-5)}\)

Także póki co mam \(\displaystyle{ \pi : 17x-4y-5z+D = 0}\) . \(\displaystyle{ D}\) mogę wyznaczyć podstawiając wcześniej wyliczony punkt \(\displaystyle{ P}\) pod współrzędne, co daje mi \(\displaystyle{ \pi : 17x -4y-5z-21 = 0}\)

Czy wszystko tutaj dobrze wyliczyłem? Czy moja droga rozwiązania jest poprawna? Proszę o pomoc.

[kerajs]

Następnie ze wzoru na cosinus kąta pomiędzy wektorami, wyliczyłem, że cosinus jest równy \(\displaystyle{ 0}\) , jednak to jest cosinus kąta \(\displaystyle{ \beta}\) , a równocześnie sinus kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), więc wektory są do siebie równoległe, czyli prosta jest prostopadła do płaszczyzny.

Skoro wektor kierunkowy prostej jest prostopadły do normalnego płaszczyzny to prosta jest równoległa do płaszczyzny.
Kolejnym krokiem jest sprawdzenie czy punkt \(\displaystyle{ P}\) spełnia równanie płaszczyzny. Jeśli tak to prosta leży w zadanej płaszczyźnie, a gdy nie to prosta jest równoległa i rozłączna z płaszczyzną.

[Uejack]

Tylko, że licząc z normalnego wzoru \(\displaystyle{ \frac{ V_{1} \cdot V_{2}}{\left| V_{1} \right| \cdot \left| V_{2} \right| }}\) dostaniemy cosinus kąta \(\displaystyle{ \pi/2 - \alpha}\) . Tak? a \(\displaystyle{ \cos ( \pi/2 - \alpha ) = \sin ( \alpha )}\) czyli sinus tego kąta to \(\displaystyle{ 0}\) , czyli sam kąt jest równy \(\displaystyle{ 0}\) .

Chodzi mi o to, że prosta jest równoległa do wektora normalnego płaszczyzny, więc jest prostopadła do samej płaszczyzny.

[kerajs]

Iloczyn skalarny znajduje kąt między dwoma wektorami. Jego zerowanie się oznacza prostopadłość tych wektorów. Skoro wektor kierunkowy prostej jest prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny, a ten jest prostopadły do płaszczyzny to prosta jest równoległa do płaszczyzny.

Tylko, że licząc z normalnego wzoru \(\displaystyle{ \frac{ V_{1} \cdot V_{2}}{\left| V_{1} \right|*\left| V_{2} \right| }}\) dostaniemy cosinus kąta \(\displaystyle{ \pi/2 - \alpha}\). Tak? a \(\displaystyle{ cos( \pi/2 - \alpha ) = sin( \alpha )}\) czyli sinus tego kąta to \(\displaystyle{ 0}\) , czyli sam kąt jest równy \(\displaystyle{ 0}\) .

We wzorku który używasz, \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między prostą a płaszczyzną. Skoro \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi zero (lub naturalną wielokrotność kąta półpełnego) to prosta jest równoległa do płaszczyzny.

[Uejack]

A licząc kąt pomiędzy płaszczyzną a prostą nie należy policzyć kąta pomiędzy prostą a jej rzutem na płaszczyznę? W takim przypadku ten wzór z wykorzystaniem iloczynu wektora kierunkowego i normalnego da mi cosinus kąta który będzie \(\displaystyle{ \pi/2 - \alpha}\) lub sinus kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) . Czyli stąd by wychodziło, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równe \(\displaystyle{ 0}\) .