Wyznacz liczbę m dla której wektory są równoległe

[Maxozabojca]

Wyznacz liczbę m dla której wektory \(\displaystyle{ \vec{u}=[m^{2}-1,-m]}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=[-1,m]}\) są równoległe.

Ja na początku założyłem że wektory są równoległe i stąd równanie:
\(\displaystyle{ (m^{2}-1,-m)\cdot x=(-1,m)}\)

Stąd układ równań:
\(\displaystyle{ \begin {cases} (m^{2}-1)x=-1\\-mx=m \end {cases}}\)

Z pierwszego równania wyznaczyłem x:
\(\displaystyle{ x(m^{2}-1)=-1}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{-1}{m^{2}-1}}\)
Co mi nic nie dało(a może się mylę?)
Z drugiego równania wyznaczyłem x:
\(\displaystyle{ -mx=m}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{m}{m}}\)
\(\displaystyle{ x=-1}\)
I teraz w pierwszym równaniu za \(\displaystyle{ x}\) podstawiłem \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ (m^{2}-1)-1=-1}\)
\(\displaystyle{ m^{2}\cdot (-1)-(-1)=-1}\)
\(\displaystyle{ -m^{2}=-2}\)
\(\displaystyle{ m^{2}=2}\)
\(\displaystyle{ m=\sqrt{2} \vee m=-\sqrt{2}}\)
W odpowiedziach na końcu zbioru jest odpowiedź:
\(\displaystyle{ m\in \left\{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\right\}}\)

Moje pytania:
-Skąd to zero w odpowiedziach?
-Z uwagi na to, że sam uczę się matematyki:czy moja metoda jest poprawna? Jakie są lepsze lub prostsze metody jeśli są?

[Zahion]

Wektory są równoległe ( w Naszym przypadku ) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \frac{m^{2}-1}{-1} = \frac{-m}{m} \Rightarrow m \in \left\{ -\sqrt{2} , \sqrt{2} \right\}}\). Zauważmy, że musieliśmy przyjąc założenie, że \(\displaystyle{ m \neq 0}\), a podstawiając \(\displaystyle{ m = 0}\) otrzymujemy, że Nasze wektory też są równoległe.
Z drugiego równania wyliczyłeś \(\displaystyle{ x}\), dzieląc przez \(\displaystyle{ m}\). Zauważ, że musisz przyjąć warunek, że \(\displaystyle{ m}\) jest różne od zera, ponieważ dzielisz przez tą liczbę.

[a4karo]

Co nie oznacza, że dla \(\displaystyle{ m=0}\) te wektory nie są równolegle. Po prostu ten przypadek trzeba rozpatrzyć osobno.

[janusz47]

Definicja równoległości dwóch wektorów:

\(\displaystyle{ \vec{u}\parallel \vec{v} \leftrightarrow \exists_{t\in \mathbf{R}}\vec{u}= t\cdot \vec{v}.}\)

Z tej definicji:

\(\displaystyle{ \vec{u}\parallel \vec{v} \leftrightarrow \exists_{t\in \mathbf{R}}[m^2-1, -m]=t\cdot[-1,m]}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}m^2 -1 = -t \\ -m = t\cdot m\ \end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}m^2 -1 = -t \\ m\cdot ( t+1)=0 \end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} m^2 - 2 =0 \\ m=0 \vee t=-1 \end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} m=0 \vee t=-1 \\ (m+\sqrt{2})(m -\sqrt{2})=0 \end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ m_{1}=-\sqrt{2}, \ \ m_{2}= 0, \ \ m_{3}=\sqrt{2}.}\)

[Maxozabojca]

janusz47, Zahion, Dałem pomógł.

a4karo, czyli rozumiem że moja metoda jest błędna, bo nie wykazała że \(\displaystyle{ m=0}\). Dałem pomógł.

[Zahion]

Twoja metoda jest poprawna, ale tak jak napisałem, w pewnym momencie otrzymałeś równość \(\displaystyle{ -mx = m}\). Zauważ, że jest ona prawdziwa dla \(\displaystyle{ x \in R}\) i \(\displaystyle{ m = 0}\), Ty natomiast podzieliłeś przez \(\displaystyle{ m}\) otrzymując \(\displaystyle{ x = - 1}\) i pomijając przypadek \(\displaystyle{ m = 0}\). W momencie kiedy dzielisz przez jakąs liczbę, musisz rozpatrzeć osobno przypadek, w którym ta liczba wynosi \(\displaystyle{ 0}\) - przez \(\displaystyle{ 0}\) nie możemy dzielić.

[Maxozabojca]

Zahion, Dziękuję za wytłumaczenie.