Równanie prostej równoległej przechodzącej przez punkt

[kieubass]

Bardzo proszę o pomoc w następującym zadaniu kolega poprosił o pomoc, no wszystko zrobiłem, a geometria, to dla mnie zło Zadanie brzmi następująco:

Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y=2 \\ x - y + z = 0 \end{cases}}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=\left( 2, -1, 0 \right)}\)

Nie chodzi mi o pełne rozwiązanie, ale prosiłbym o rozpisanie krok po kroku co mam zrobić Iloczyny skalarne, wektorowe, mieszane ok, ale jeśli chodzi o wektory kierunkowe, normalne, czy jakieś inne, to nie widzę tego, powiedzcie wtedy jak taki wektor wyznaczyć

Z góry dziękuję za pomoc

[Zahion]

Jedna z metod :
Prosta \(\displaystyle{ l}\) jest postaci krawędziowej. Wyznacz wektory normalne płaszczyzn w tym układzie równań, wektor kierunkowy szukanej prostej będzie np. iloczynem wektorowym wektorów normalnych płaszczyzn. Masz punkt tej prostej, będziesz mieć jej wektor kierunkowy, będziesz mieć tą prostą.

[kieubass]

Wyznacz wektory normalne płaszczyzn w tym układzie równań

Powiesz jak to zrobić?

wektor kierunkowy szukanej prostej będzie np. iloczynem wektorowym wektorów normalnych płaszczyzn.

Czyli jak się dowiem, to śmignę iloczyn wektorowy bez problemu

Masz punkt tej prostej, będziesz mieć jej wektor kierunkowy, będziesz mieć tą prostą.

Mam, będę miał, a jak dostanę prostą? Mam podany punkt wstawić do jakiegoś równania? Do jakiego?

[Zahion]

1. Dla płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) jej wektor normalny to \(\displaystyle{ \vec{n} = \left[ A, B, C \right]}\).
2. Tak, po prostu ze wzoru na iloczyn wektorowy dla wektorów normalnych płaszczyzn.
3. Równanie prostej o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ \vec{v}}\) ,punkcie \(\displaystyle{ r_{0}}\) o współrzędnych \(\displaystyle{ \left( a, b, c \right)}\) i wektorze wodzącym \(\displaystyle{ r}\) ma postać \(\displaystyle{ l : r + tv}\) dla \(\displaystyle{ t \in R}\). To będzie równanie parametryczne Naszej prostej. Z Niego warto przejść na współrzędne.
Proponuje abyś pokazał obliczenia, sprawdzę poprawność.

Rozwiązanie:    

Jako, że już mykam, to odpowiedzi kolejno :
1. Pierwsza płaszczyzna ma wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n_{1}} = \left[ 1, 1, 0\right]}\), druga \(\displaystyle{ \vec{n_{2}} = \left[ 1,-1,1 \right]}\). Iloczyn skalarny wynosi \(\displaystyle{ i - j - 2k}\) ( iloczyn skalarny wypluwa Nam wektor prostopadły do dwóch wektorów, z których go obliczamy, a przeto wektor kierunkowy Naszej prostej właśnie takim wektorem jest, tj. prostopadłym do wektorów normalnych Naszych płaszczyzn ), wystarczy wziąć wektor \(\displaystyle{ \vec{n} = \left[ 1, -1, - 2\right]}\), który jest wektorem kierunkowym Naszej prostej. Stąd równanie tej prostej to \(\displaystyle{ l : \left[ 2, -1, 0 \right] + t \left[ 1, -1, -2\right]}\), co po przerzuceniu się na współrzędne daje postać \(\displaystyle{ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 - t \\ z = -2t \end{cases}}\)
Dodatkowo warto zaznaczyć, że dwie prostej są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy mają równoległe wektory kierunkowe.

[kieubass]

Bardzo mi pomogłeś, dziękuję nawet zrozumiałem o co tu chodzi i na przyszłość będę wiedział