Matematyka.pl

Witam, najpierw podam polecenie:

Wykaż, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^{2} + b ^{2} + 2 \ge 2(a+b)}\)
O ile zrobiłem zadanie przekształceniami algebraicznymi, to widzę też równanie okręgu, ale nie wiem czy dobrze kombinuje.

\(\displaystyle{ a^{2} + b ^{2} + 2 \ge 2a + 2b \\
x = a \\
y = b \\
\\
x^{2} + y^{2} -2x - 2b \ge -2 \\}\)
Czyli S(1;1)
\(\displaystyle{ (x-1) ^{2} + (y-1)^{2} \ge (-2)^{2}*}\)
*nie wiem czy c mogę uznać za r, chyba nie, więc znalazłem wzór w tablicach matematycznych:
\(\displaystyle{ r ^{2} = a^{2} + b ^{2} - c \\
r ^{2} = 1 + 1 - 2}\)

Czyli promień mi wyszedł 0, ale jest dopisane, że powinno to być większe od 0. Więc coś źle kombinuje, nakieruje mnie ktoś?

(przykład z Vademecum, Nowej Ery, Teraz matura, matematyka rozszerzona)

kerajs pisze:\(\displaystyle{ a^{2} + b ^{2} + 2 \ge 2(a+b)\\
a^2-2a+1+b^2-2b+1 \ge 0\\
(a-1)^2+(b-1)^2 \ge 0}\)

Czytałeś moją wypowiedź?
Napisałem, że tak umiem zrobić. Chciałem spróbować jeszcze z okręgiem, ale nie wiem czy taki tok rozumowania jest ok i gdzie napotykam na błąd.

GeneralXavi pisze:\(\displaystyle{ (x-1) ^{2} + (y-1)^{2} \ge\red (-2)^{2}}\)

A to cudo to skąd?

JK

GeneralXavi pisze:Czytałeś moją wypowiedź?

Owszem.

GeneralXavi pisze:Napisałem, że tak umiem zrobić.

Nie.
Napisałeś jedynie: O ile zrobiłem zadanie przekształceniami algebraicznymi.

GeneralXavi pisze: Chciałem spróbować jeszcze z okręgiem, ale nie wiem czy taki tok rozumowania jest ok i gdzie napotykam na błąd.

Tok rozumowania jest prawidłowy, ale wykonanie błędne. Dlatego napisałem poprawną wersję Twoich przekształceń.

GeneralXavi, no po prostu nie każda nierówność, w której występuje jakaś suma kwadratów, daje się sprowadzić do nierówności koła/równania okręgu. Niech \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR}\). Zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ (x,y)\in \RR^2: (x-a)^2+(y-b)^2=c\right\}}\)
jest:
zbiorem pustym, gdy \(\displaystyle{ c<0}\);
punktem, gdy \(\displaystyle{ c=0}\);
okręgiem na płaszczyźnie (o środku w punkcie \(\displaystyle{ (a,b)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{c}}\)), gdy \(\displaystyle{ c>0}\)