W elipsie
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
W elipsie
W elipsie \(\displaystyle{ \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}=1}\) rozważmy wszystkie cięciwy widoczne ze środka elipsy pod kątem prostym. Znaleźć najdłuższą z cięciw.
Nie mogę się jakoś tego badziewia doliczyć. Ktoś coś?
Nie mogę się jakoś tego badziewia doliczyć. Ktoś coś?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: W elipsie
Ja też wiem co to środek elipsy ale sformułowanie typu:
Ze środka pod kątem prostym co w dowolnym tłumaczeniu można zrozumieć, że autorowi chodzi
o odcinek prostopadły do środka elipsy czyli do punktu .
Dalej się upieram gdzie sens gdzie logika...
Ze środka pod kątem prostym co w dowolnym tłumaczeniu można zrozumieć, że autorowi chodzi
o odcinek prostopadły do środka elipsy czyli do punktu .
Dalej się upieram gdzie sens gdzie logika...
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: W elipsie
podzielę się takim fakcikiem, pewnie się nie przydaje w tym zadaniu, ale jest fajny: wszystkie cięciwy, które widać pod kątem prostym ze środka elipsy są styczne do pewnego okręgu
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: W elipsie
Ta elipsa ma półosie \(\displaystyle{ \sqrt{9}=3\ i\ \sqrt{4}=2}\) .
Najdłuższa cięciwa jest przeciwprostokątną trójkąta, którego przyprostokątne to półosie,
więc \(\displaystyle{ c_{max}= \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}}\)
a wyżej wspomniany okrąg ma równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{36}{13}}\)
Najdłuższa cięciwa jest przeciwprostokątną trójkąta, którego przyprostokątne to półosie,
więc \(\displaystyle{ c_{max}= \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}}\)
a wyżej wspomniany okrąg ma równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{36}{13}}\)
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 23:15 przez kinia7, łącznie zmieniany 1 raz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: W elipsie
a najczęściej dowolnym, nie czepiam się ale formuł tego zadania mnie po prostu osłabia napiję się wody...Każdy odcinek z każdego punktu jest widoczny pod pewnym kątem.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: W elipsie
Wsk. Równanie elipsy to \(\displaystyle{ (3\cos t, 2\sin t) \ t\in(0,2\pi)}\)
Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)
Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: W elipsie
To nie jest prawda.a4karo pisze:Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: W elipsie
Dlaczego?kinia7 pisze:To nie jest prawda.a4karo pisze:Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: W elipsie
Nie zakładam. Wyliczyłam to.a4karo pisze:A czemu zakładasz, że najdłuższa cięciwa łączy końce półosi?
Współrzędne jednego końca cięciwy to \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=3\cos t \\ y_1=2\sin t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt miedzy dodatnią częścią osi 0X a odcinkiem łączącym ten koniec ze środkiem układu współrzędnych
\(\displaystyle{ \tg \alpha =\frac{y_1}{x_1}=\frac23\tg t}\)
\(\displaystyle{ \alpha+90^{\circ}}\) - kąt miedzy dodatnią częścią osi 0X a odcinkiem łączącym środek układu współrzędnych z drugim końcem cięciwy
\(\displaystyle{ \tg (\alpha+90^{\circ}) =\frac{y_2}{x_2}=\frac23\tg t_2\ \ \Rightarrow \ \ \tg t_2=\frac32\cdot\frac{-1}{\tg \alpha}=-\frac94 \cdot\frac{1}{\tg t}}\)
współrzędne drugiego końca cięciwy to \(\displaystyle{ \begin{cases} x_2=3\cos t_2 \\ y_2=2\sin t_2 \end{cases}}\)
cięciwa jest przeciwprostokątną w trójkącie, którego przyprostokątnymi są dwa w/w odcinki, więc z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ c^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=9\cos^2t+4\sin^2t+9\cos^2t_2+4\sin^2t_2}\)
\(\displaystyle{ c^2=5\cos^2t+4+\frac{9}{1+\tg^2t_2}+\frac{4\tg^2t_2}{1+\tg^2t_2}}\)
\(\displaystyle{ c^2=5\cos^2t+4+\frac{4(81+36\tg^2t)}{81+16\tg^2t}\ \Rightarrow \ c^2_{max}=13\ \
dla\ \ t=k\cdot\frac{\pi}{2}}\)
-- 22 paź 2017, o 21:25 --
Boa4karo pisze:Dlaczego?kinia7 pisze:To nie jest prawda.a4karo pisze:Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)
\(\displaystyle{ \left| \arctg\left( -\frac{9}{4\tg t}\right) - t\right|=\frac{\pi}{2}}\) tylko dla \(\displaystyle{ t=k\cdot\frac{\pi}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: W elipsie
Faktycznie, nie jest . To równanie parametryczne, a nie równanie we współrzędnych biegunowych.a4karo pisze:Dlaczego?kinia7 pisze:To nie jest prawda.a4karo pisze:Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)