W elipsie

[max123321]

W elipsie \(\displaystyle{ \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}=1}\) rozważmy wszystkie cięciwy widoczne ze środka elipsy pod kątem prostym. Znaleźć najdłuższą z cięciw.

Nie mogę się jakoś tego badziewia doliczyć. Ktoś coś?

[a4karo]

Równanie parametryczne się kłania

[arek1357]

Na mój gust jest to do d.. sformułowane "ze środka pod kątem prostym" gdzie sens gdzie logika.
Tu nawet Chiński uczony by się pogubił...

[a4karo]

A ja nie... Środek elipsy to środek odcinka łączącego jej ogniska

[arek1357]

Ja też wiem co to środek elipsy ale sformułowanie typu:

Ze środka pod kątem prostym co w dowolnym tłumaczeniu można zrozumieć, że autorowi chodzi
o odcinek prostopadły do środka elipsy czyli do punktu .
Dalej się upieram gdzie sens gdzie logika...

[a4karo]

Cięciwa to odcinek. Każdy odcinek z każdego punktu jest widoczny pod pewnym kątem.

Jest i sens i logika i czepialstwo.

[timon92]

podzielę się takim fakcikiem, pewnie się nie przydaje w tym zadaniu, ale jest fajny: wszystkie cięciwy, które widać pod kątem prostym ze środka elipsy są styczne do pewnego okręgu

[kinia7]

Ta elipsa ma półosie \(\displaystyle{ \sqrt{9}=3\ i\ \sqrt{4}=2}\) .
Najdłuższa cięciwa jest przeciwprostokątną trójkąta, którego przyprostokątne to półosie,
więc \(\displaystyle{ c_{max}= \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}}\)

a wyżej wspomniany okrąg ma równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{36}{13}}\)

[a4karo]

A czemu zakładasz, że najdłuższa cięciwa łączy końce półosi?

[arek1357]

Każdy odcinek z każdego punktu jest widoczny pod pewnym kątem.

a najczęściej dowolnym, nie czepiam się ale formuł tego zadania mnie po prostu osłabia napiję się wody...

[a4karo]

Wsk. Równanie elipsy to \(\displaystyle{ (3\cos t, 2\sin t) \ t\in(0,2\pi)}\)
Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)

[kinia7]

Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)

To nie jest prawda.

[a4karo]

Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)

To nie jest prawda.

Dlaczego?

[kinia7]

A czemu zakładasz, że najdłuższa cięciwa łączy końce półosi?

Nie zakładam. Wyliczyłam to.
Współrzędne jednego końca cięciwy to \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=3\cos t \\ y_1=2\sin t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt miedzy dodatnią częścią osi 0X a odcinkiem łączącym ten koniec ze środkiem układu współrzędnych
\(\displaystyle{ \tg \alpha =\frac{y_1}{x_1}=\frac23\tg t}\)
\(\displaystyle{ \alpha+90^{\circ}}\) - kąt miedzy dodatnią częścią osi 0X a odcinkiem łączącym środek układu współrzędnych z drugim końcem cięciwy
\(\displaystyle{ \tg (\alpha+90^{\circ}) =\frac{y_2}{x_2}=\frac23\tg t_2\ \ \Rightarrow \ \ \tg t_2=\frac32\cdot\frac{-1}{\tg \alpha}=-\frac94 \cdot\frac{1}{\tg t}}\)
współrzędne drugiego końca cięciwy to \(\displaystyle{ \begin{cases} x_2=3\cos t_2 \\ y_2=2\sin t_2 \end{cases}}\)
cięciwa jest przeciwprostokątną w trójkącie, którego przyprostokątnymi są dwa w/w odcinki, więc z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ c^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=9\cos^2t+4\sin^2t+9\cos^2t_2+4\sin^2t_2}\)
\(\displaystyle{ c^2=5\cos^2t+4+\frac{9}{1+\tg^2t_2}+\frac{4\tg^2t_2}{1+\tg^2t_2}}\)
\(\displaystyle{ c^2=5\cos^2t+4+\frac{4(81+36\tg^2t)}{81+16\tg^2t}\ \Rightarrow \ c^2_{max}=13\ \
dla\ \ t=k\cdot\frac{\pi}{2}}\)

-- 22 paź 2017, o 21:25 --

Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)

To nie jest prawda.

Dlaczego?

Bo
\(\displaystyle{ \left| \arctg\left( -\frac{9}{4\tg t}\right) - t\right|=\frac{\pi}{2}}\) tylko dla \(\displaystyle{ t=k\cdot\frac{\pi}{2}}\)

[a4karo]

Końce cięciw, które widać pod kątem prostym odpowiadają parametrom \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ t+\pi/2}\)

To nie jest prawda.

Dlaczego?

Faktycznie, nie jest . To równanie parametryczne, a nie równanie we współrzędnych biegunowych.