Współrzędne końców łuku (bez funkcji trygonometrycznych)

[crovv]

Witam.

Mamy takie zadanko:

Środek okręgu leży w układzie współrzędnych i znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Okrąg ma promień równy \(\displaystyle{ 5}\). Na okręgu znajduje się łuk \(\displaystyle{ AB}\) o długości \(\displaystyle{ 3}\), gdzie punkt \(\displaystyle{ A}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (5,0)}\) (czyli leży dokładnie na \(\displaystyle{ 0}\) stopni). Mając takie dane, należy wyznaczyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ B}\), czyli drugiego końca łuku.

"Normalnie" byłoby to dosyć proste. Policzyć obwód okręgu, następnie kąt tworzący dany łuk. Mając kąt, można machnąć trójkąt równoramienny i używając trygonometrii wyliczyć podstawę tegoż trójkąta (będącego jednocześnie cięciwą tego łuku). Mając punkt początku cięciwy (\(\displaystyle{ A}\)) i jej długość (podstawa trójkąta), można spokojnie obliczyć jej punkt końcowy (\(\displaystyle{ B}\)).

Tylko no właśnie, co w przypadku, gdy wyjdzie mi na łuku jakiś "brzydki" kąt (np. \(\displaystyle{ 23,07}\) stopnia), a ja akurat nie będę mięć pod ręką kalkulatora liczącego funkcje, ani pełnych tablic z wartościami funkcji? Czy z posiadanych danych da się jakoś wyliczyć ten punkt \(\displaystyle{ B}\)?

Myślałem o punkcie przecięcia okręgu i promienia wyznaczającego punkt \(\displaystyle{ B}\), ale nie mam równania tego promienia, więc to chyba odpada.

[Dilectus]

Wzór na długośż łuku okręgu o promieniu r:

\(\displaystyle{ d=\alpha r}\) (w radianach)

\(\displaystyle{ \alpha= \frac{d}{r} = \frac{3}{5}}\)

Jeśli masz kąt, to napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i nachylonej do osi \(\displaystyle{ x}\) pod kątem \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ y=\tg\alpha x}\)

Znajdź punkty przecięcia tej prostej z okręgiem, rozwiązując układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\tg \alpha \cdot x \\ x^2+y^2=25 \end{cases}}\)

[janusz47]

Długości łuku \(\displaystyle{ ł= 3}\) okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r = 5}\) odpowiada kąt \(\displaystyle{ \alpha =...rad}\)

Równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ a = \tg\left( \frac{\pi}{2} - \alpha\right ) \ \ l: \ \ y = ...}\)

Punkt \(\displaystyle{ B}\)- przecięcia prostej \(\displaystyle{ l}\) z okręgiem \(\displaystyle{ o, o \cap l}\) ma współrzędne...

[crovv]

Dziękuję za obie odpowiedzi.

Jeżeli dobrze rozumiem, w obu przypadkach na pewnym etapie muszę policzyć tangens tego kąta tworzącego łuk. Tylko co w sytuacji, gdy będę musiał policzyć tangens kąta w stylu 17,03 stopnia?

[janusz47]

Odczytujemy wartość przybliżona tangensa z tablic, kalkulatora, czy programu numerycznego.

Skąd akurat ta wartość stopniowa tangensa, skoro zasugerowałem miarę łukową (rad)?

[Dilectus]

Bierzesz kalkulator i liczysz, albo sprawdzasz w tablicach trygonometrycznych. O tak:

\(\displaystyle{ \tg\left( 0,6 \right)= 0,6841}\)

[crovv]

A co ja napisałem w pierwszym poście i tytule tematu? .

Bez tablic, kalkulatora linijki, kątomierza, cyrkla itd. Tylko kartka papieru, długopis i obliczenia.

[Dilectus]

No to pozostaje Ci zgadnąć.

[a4karo]

Masz jeszcze szeregi...

[kruszewski]

Nie ubiegam się o pierwszeństwo tak i kasuję swój post.
W.Kr.

[Dilectus]

A co ja napisałem w pierwszym poście i tytule tematu? .

Bez tablic, kalkulatora linijki, kątomierza, cyrkla itd. Tylko kartka papieru, długopis i obliczenia.

[a4karo]

A myslisz że jak ludzie stworzyli tablice trygonometryczne