Rzut prostopadły punktu na prostą

[Olka_a]

Przejrzałam kilka tematów na forum i chciałabym się dowiedzieć czy dobrze robię to zadanie. Ponieważ nie mam wyniku do swojego zadania.

Znajdź rzut prostopadły punktu P(1,1,4) na prostą x=2t+1, y=-3t+5, z=t+2

Wektor \(\displaystyle{ \vec{n}}\) = [2,-3,1]

Równanie płaszczyzny 2x-3y+z+D=0
2-3+4+D=0
D=-3
Więc równanie 2x-3y+z-3=0
2(2t+1)-3(-3t+5)+(t+2)-3=0
4t+2+9t-15+t+2-3=0
14t-14=0
t=1

\(\displaystyle{ x=2 \cdot 1 +1 = 3}\)
\(\displaystyle{ y=-3 \cdot 1 +5=2}\)
z=3

Czyli punkt P prostopadły (3,2,3)

[kerajs]

Jest OK.

Rozwiązanie alternatywne z iloczynu skalarnego.
\(\displaystyle{ P'=\left( 2t+1, -3t+5, t+2\right) \\
\vec{PP'} \circ \vec{k}=0\\
\left[ 2t+1-1, -3t+5-1, t+2-4\right] \circ \left[ 2,-3,1\right] =0\\
(2t) \cdot 2+(-3t+4) \cdot (-3)+(t-2)=0\\
14t-14=0\\
t=1\\
P'=\left( 2 \cdot 1+1, -3 \cdot 1+5, 1+2\right)=\left( 3,2,3\right)}\)