Geometria analityczna - 9 zadań

[Graedl]

Hej, poszukuję pomocy w rozwiązaniu takich 9 zadań, najfajniej by było, razem z wytłumaczeniem co robić i dlaczego po kolei Z góry dziękuję.

Zad.1 Wyznaczyć współrzędne prostokątne punktów danych we współrzędnych biegunowych:
a) \(\displaystyle{ A \left( 3; \frac{\pi}{4} \right)}\)

b) \(\displaystyle{ B \left( 4; \frac{5}{3}\pi \right)}\)

Zad.2 Wyznaczyć współrzędne biegunowe punktów danych we współrzędnych prostokątnych
a) \(\displaystyle{ A(2; 3)}\)

b) \(\displaystyle{ B(-5; -2)}\)

Zad.3 Wyznaczyć współrzędne prostokątne punktu danego we współrzędnych:
a) sferycznych \(\displaystyle{ r = 5, \gamma=120^0, \theta=60^0}\)
b) walcowych \(\displaystyle{ r = 6, \gamma=30^0, z = -5}\)

Zad.4 Wyznaczyć współczynnik kątowy i kąt nachylenia danej prostej do osi \(\displaystyle{ x}\):
a) \(\displaystyle{ y = -x + 5}\)
b) \(\displaystyle{ 2x + 5y – 5 = 0}\)
c) \(\displaystyle{ x = 3 + 4t y = 1 – 2t}\)

Zad. 5 Napisać równanie kierunkowe prostej:
a) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (-2; -3)}\) i nachylonej do osi \(\displaystyle{ x}\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha=60^0}\)
b) określonej równaniami parametrycznymi \(\displaystyle{ x = 2 + t y = 1 + 2t}\)

Zad.6 Wyznaczyć równanie: wyznacznikowe, ogólne, kierunkowe, parametryczne prostej przechodzącej przez punkty:
a) \(\displaystyle{ A(3; 7), B(-1; 1)}\)
b) \(\displaystyle{ A(-2; 4), B(1; 0)}\)

Zad.7 Wyznaczyć punkt przecięcia oraz kąt między prostymi:
a) \(\displaystyle{ -4x + 3y + 2 = 0, 5x + 2y + 4 = 0}\)
b) \(\displaystyle{ 6x + 2y - 5 = 0, -3x + 5y + 7 = 0}\)

Zad. 8 Przez punkt \(\displaystyle{ A(-3; 5)}\) poprowadzić prostą:
a) równoległa
b) prostopadła
c) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha=60^0}\)

do prostej \(\displaystyle{ 3x – 4y + 12 = 0}\)

Zad. 9 Wyznaczyć odległość punktu \(\displaystyle{ A(4;-3)}\) od prostej \(\displaystyle{ x – 4y + 3 = 0}\)

[janusz47]

Pomożemy ale pokaż trochę własnej inicjatywy- pracy, przecież jesteś studentem (studentką)!

[Graedl]

Problemem jest to, że nie posiadam materiałów, które pomogłyby to rozwiązać, w internecie również brak, jakichkolwiek przykładowych rozwiązań. I dlatego właśnie zwracam się o pomoc :/ w miarę potrafię rozwiązać zadanie 9, bo kojarzę takie z liceum. Reszty niestety nie umiem

[piasek101]

7) ,,punkt przecięcia prostych" oraz ,,kąt między prostymi" - wpisać gdzie trzeba, pokazać co się zrobiło.

[Graedl]

Zdobyłem materiały i spróbowałem zrobić te zadania, tylko z innymi danymi. Nie mam opcji edycji pierwszego postu już niestety. Proszę o sprawdzenie, czy jest w porządku i wskazanie mi błędów i ich wytłumaczenie. I proszę o wyjaśnienie, jak zrobić zadanie 4, bo jego nie jestem w stanie ugryźć z żadnej strony.
Z góry dzięki

Zad.1. Wyznaczyć współrzędne prostokątne punktów danych we współrzędnych biegunowych:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3} }{2}=0,866}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2} }{2}=0,707}\)

a) \(\displaystyle{ A(20; \frac{\pi}{6})}\)
\(\displaystyle{ x_{a}=20cos\frac{\pi}{6}=20 \cdot 0,866=17,32}\)

\(\displaystyle{ y_{a}=20sin\frac{\pi}{6}=20 \cdot \frac{1}{2} =10}\)

b) \(\displaystyle{ B(4; \frac{5\pi}{3})}\)
\(\displaystyle{ x_{b}=4cos\frac{5\pi}{3}=4 \cdot cos( \pi + \frac{2\pi}{3})=4 \cdot (-cos\frac{2\pi}{3})=4 \cdot \frac{1}{2} =2}\)

\(\displaystyle{ y_{b}=4sin\frac{5\pi}{3}=4 \cdot sin( \pi + \frac{2\pi}{3})=4 \cdot (-sin\frac{2\pi}{3})=-4 \cdot \frac{\sqrt{3} }{2}=-4 \cdot 0,866=-3,464}\)

Zad.2. Wyznaczyć współrzędne biegunowe punktów danych we współrzędnych prostokątnych:

a) \(\displaystyle{ A(2;5)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2^{2}+ 5^{2}}= \sqrt{a}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{29} = \sqrt{a}}\)

\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{5}{2} \Rightarrow \alpha =68^{o} 12'}\)

Zad.3. Wyznaczyć współrzędne prostokątne punktu danego we współrzędnych:
\(\displaystyle{ r=8}\)
\(\displaystyle{ \gamma= 45^{o}}\)
\(\displaystyle{ \theta=120^{o}}\)

\(\displaystyle{ x=8cos 45^{o}cos120^{o}=8 \cdot\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot cos( 90^{o}+ 30^{o})=8 \cdot\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot (-sin 30^{o})=8 \cdot 0,707 \cdot (- \frac{1}{2})=-2,828}\)

\(\displaystyle{ y=8sin 45^{o}sin120^{o}=8 \cdot\frac{\sqrt{2} }{2} \cdot sin( 90^{o}+ 30^{o})=8 \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot (cos 30^{o})=8 \cdot 0,707 \cdot 0,866=4,8980}\)

\(\displaystyle{ z=8 \cdot sin120^{o} =8 \cdot 0,866=6,928}\)

\(\displaystyle{ x=-2,828}\)
\(\displaystyle{ y=4,8980}\)
\(\displaystyle{ z=6,928}\)


Zad.4 Wyznaczyć współczynnik kątowy i kąt nachylenia danej prostej do osi x:

\(\displaystyle{ -5x+2y+1=0}\)
Tego nie potrafię w ogóle zacząć

Zad. 5 Napisać równanie kierunkowe prostej:

a) przechodzącej przez punkt A(2; 5) i nachylonej do osi x pod kątem \(\displaystyle{ \alpha=70^{o}}\)

\(\displaystyle{ tg \alpha =tg 70^{o} =2,7475}\)

y=2,7475x + b

5=2,7475\(\displaystyle{ \cdot}\)2+b
5=5,495+b
b=5-5,495
b=-0,495

y=2,7475x-0,495

Zad.6 Wyznaczyć równanie: wyznacznikowe, ogólne, kierunkowe, parametryczne prostej przechodzącej przez punkty:
a) A(-5; 8), B(-1; 1)
y=ax+b

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\-5&8&1\\-1&1&1\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) równanie wyznacznikowe

Z macierzy \(\displaystyle{ \Rightarrow 8x-5-y+8-x+5y=0}\)
Porządkuję:\(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ 7x+4y+3=0 \rightarrow}\)równanie ogólne

\(\displaystyle{ 4y=-7x-3}\)
Porządkuję:\(\displaystyle{ y=- \frac{7}{4}- \frac{3}{4} \rightarrow}\) równanie kierunkowe

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= x_{a} +( x_{b} - x_{a} ) \cdot t\\y=y_{a} +( y_{b} - y_{a} ) \cdot t\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= -5 +( -1 + 5) \cdot t\\y=8 +( 1 - 8) \cdot t\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x= -5 + 4t\\y=8 -7t\end{array}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) równanie parametryczne

Zad.7. Wyznaczyć punkt przecięcia oraz kąt między prostymi:
a) -7x - 2y + 1 = 0 ; 2x + 5y - 10 = 0

\(\displaystyle{ y= \frac{-7x+1}{2}= \frac{-2x+10}{5}}\)

\(\displaystyle{ -35x+5=-4x+20}\)

\(\displaystyle{ -31x=15}\)

\(\displaystyle{ x=- \frac{15}{31}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{-7 \cdot (- \frac{15}{31})+1 }{2}= \frac{ \frac{105}{31} +1}{2}= \frac{ \frac{136}{31} }{2}= \frac{136}{31} \cdot \frac{1}{2} = \frac{68}{31} \approx 2,19354}\)

\(\displaystyle{ x=-0,48387}\)
\(\displaystyle{ y=2,19354}\)

\(\displaystyle{ tg \alpha =\left| \frac{m-n}{mn+1} \right|}\)

\(\displaystyle{ tg \alpha =\left| \frac{- \frac{7}{2}+ \frac{2}{5} }{-\frac{7}{2} \cdot (- \frac{2}{5})+1 } \right| = \left| \frac{- \frac{35}{10}+ \frac{4}{10} }{-\frac{14}{10} +1 } \right|= \left| \frac{- \frac{31}{10} }{-\frac{24}{10} } \right|= \frac{-3,1}{2,4} \approx 1,2916}\)

\(\displaystyle{ \alpha = 52^{o} 18'}\)

Zad.8. Przez punkt A(2; -7) poprowadzić prostą:
a) równoległą
b) prostopadłą
do prostej: -3x + 9y - 1 = 0

\(\displaystyle{ a) -3x + 9y - 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ 9y=3x+1}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} x+ \frac{1}{9}}\)

\(\displaystyle{ -7= \frac{1}{3} \cdot 2+b}\)

\(\displaystyle{ -7= \frac{2}{3} +b}\)

\(\displaystyle{ b=-7 \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x -7\frac{2}{3}}\)


\(\displaystyle{ b) y= \frac{1}{3}x -7\frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ a=-1 \cdot 3=-3}\)

\(\displaystyle{ -7=-3 \cdot 2+b}\)

\(\displaystyle{ -7=-6+b}\)

\(\displaystyle{ b=-1}\)

\(\displaystyle{ y=-3x-1}\)

Zad.9. Wyznaczyć odległość punktu A(-4;7) od prostej 5x + y - 2 = 0

\(\displaystyle{ L= \frac{\left| A_{x}+ B_{x}+C\right| }{ \sqrt{ A^{2}+ B^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ L= \frac{\left| 5 \cdot (-4)+1 \cdot (-4)-2\right| }{ \sqrt{25+1} } }= \frac{\left| -20-4-2\right| }{ \sqrt{26} } }= \frac{26}{ \sqrt{26} } \approx 5,09902}\)

[piasek101]

7,8,9) Przejrzałem - wyglądają ok.

Tylko w 7 nie przybliżałbym współrzędnych punktu przecięcia.
We wszystkich dodasz trochę opisu i odpowiedzi.