Prosta w przestrzeni
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Prosta w przestrzeni
Istnieje kilka równań prostej w przestrzeni.
Położenie prostej \(\displaystyle{ l}\) jest określone jednoznacznie gdy dany jest jej punkt \(\displaystyle{ P_{0}= (x_{0},y_{0}, z_{0})}\) i wektor \(\displaystyle{ \vec{k} = [a,b,c ]}\) równoległy do niej. Wektor \(\displaystyle{ \vec{k}}\) nazywamy wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ l.}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ P = (x,y, z)}\) jest dowolnym punktem prostej, to wektor \(\displaystyle{ \vec{PP_{0}}}\) jest równoległy do prostej a więc i równoległy do wektora \(\displaystyle{ \vec{k}.}\)
Z warunku równoległości wektorów otrzymujemy
\(\displaystyle{ \vec{PP_{0}} = t\cdot \vec{k}, \ \ t\in \set{R}.}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ \vec{PP_{0}} = [x - x_{0}, y-y_{0}, z - z_{0}] = t\cdot [a, b, c]}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ [x - x_{0}, y-y_{0}, z - z_{0}] = [ta, tb, tc]}\)
Porównując współrzędne otrzymujemy równanie parametryczne charakteryzujące prostą
\(\displaystyle{ l: \left\{\begin{matrix} x = x_{0} +at, \\ y = y_{0} + bt, \\ z = z_{0} + ct \end{matrix}\right.}\) (1)
Równania (1) możemy przekształcić do postaci
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \frac{x- x_{0}}{a}= t, \\ \frac{y - y_{0}}{b}= t, \\ \frac{z - z_{0}}{c}=t \end{matrix}\right.}\)
Skąd otrzymujemy
\(\displaystyle{ l: \frac{x- x_{0}}{a}= \frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}.}\) (2)
Równanie (2) nazywamy równaniem kierunkowym prostej albo równaniem w postaci podwójnej proporcji.
W zagadnieniach praktycznych prosta często pojawia się jako część wspólna (krawędź przecięcia się) dwóch płaszczyzn nierównoległych.
Jeżeli tymi płaszczyznami są
\(\displaystyle{ \pi_{1}: A_{1}x +B_{1}y + C_{1}z + D_{1}=0, \ \ \pi_{2}: A_{2}x +B_{2}y + C_{2}z + D_{2}=0}\) to prostą zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ l: \left\{ \begin{matrix}A_{1}x +B_{1}y + C_{1}z + D_{1}=0 \\ A_{2}x +B_{2}y + C_{2}z + D_{2}=0. \end{matrix} \right.}\)
Mówimy, że prosta jest w postaci krawędziowej.
Położenie prostej \(\displaystyle{ l}\) jest określone jednoznacznie gdy dany jest jej punkt \(\displaystyle{ P_{0}= (x_{0},y_{0}, z_{0})}\) i wektor \(\displaystyle{ \vec{k} = [a,b,c ]}\) równoległy do niej. Wektor \(\displaystyle{ \vec{k}}\) nazywamy wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ l.}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ P = (x,y, z)}\) jest dowolnym punktem prostej, to wektor \(\displaystyle{ \vec{PP_{0}}}\) jest równoległy do prostej a więc i równoległy do wektora \(\displaystyle{ \vec{k}.}\)
Z warunku równoległości wektorów otrzymujemy
\(\displaystyle{ \vec{PP_{0}} = t\cdot \vec{k}, \ \ t\in \set{R}.}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ \vec{PP_{0}} = [x - x_{0}, y-y_{0}, z - z_{0}] = t\cdot [a, b, c]}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ [x - x_{0}, y-y_{0}, z - z_{0}] = [ta, tb, tc]}\)
Porównując współrzędne otrzymujemy równanie parametryczne charakteryzujące prostą
\(\displaystyle{ l: \left\{\begin{matrix} x = x_{0} +at, \\ y = y_{0} + bt, \\ z = z_{0} + ct \end{matrix}\right.}\) (1)
Równania (1) możemy przekształcić do postaci
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} \frac{x- x_{0}}{a}= t, \\ \frac{y - y_{0}}{b}= t, \\ \frac{z - z_{0}}{c}=t \end{matrix}\right.}\)
Skąd otrzymujemy
\(\displaystyle{ l: \frac{x- x_{0}}{a}= \frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}.}\) (2)
Równanie (2) nazywamy równaniem kierunkowym prostej albo równaniem w postaci podwójnej proporcji.
W zagadnieniach praktycznych prosta często pojawia się jako część wspólna (krawędź przecięcia się) dwóch płaszczyzn nierównoległych.
Jeżeli tymi płaszczyznami są
\(\displaystyle{ \pi_{1}: A_{1}x +B_{1}y + C_{1}z + D_{1}=0, \ \ \pi_{2}: A_{2}x +B_{2}y + C_{2}z + D_{2}=0}\) to prostą zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ l: \left\{ \begin{matrix}A_{1}x +B_{1}y + C_{1}z + D_{1}=0 \\ A_{2}x +B_{2}y + C_{2}z + D_{2}=0. \end{matrix} \right.}\)
Mówimy, że prosta jest w postaci krawędziowej.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Prosta w przestrzeni
Uwaga do częsci pierwszej: ponieważ wektor zerowy jest równoległy do każdego innego, nalezy zalożyć, że \(\displaystyle{ \vec{k}\neq\vec{0}}\)