Środek symetrii krzywej
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 19 razy
Środek symetrii krzywej
Witam,
jest ktoś w stanie wytłumaczyć, jak wyznaczyć środek symetrii krzywej 2-go stopnia określonej równaniem:
\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2}+6xy+y^{2}+3x+2y-4}\)
Z góry dziękuję za pomoc
jest ktoś w stanie wytłumaczyć, jak wyznaczyć środek symetrii krzywej 2-go stopnia określonej równaniem:
\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2}+6xy+y^{2}+3x+2y-4}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Re: Środek symetrii krzywej
Trzeba sprowadzić równanie do postaci kanonicznej - mają być same kwadraty. Zacznijmy tak:
\(\displaystyle{ x^{2}+6xy+y^{2}+3x+2y-4=(x+3y+3/2)^2+\dots}\)
Musisz to wyrównać stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników. Wyeliminowaliśmy \(\displaystyle{ x}\), to samo robimy z \(\displaystyle{ y}\).
Możemy też popatrzeć co to za krzywa licząc wyróżniki: duży i mały.
\(\displaystyle{ x^{2}+6xy+y^{2}+3x+2y-4=(x+3y+3/2)^2+\dots}\)
Musisz to wyrównać stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników. Wyeliminowaliśmy \(\displaystyle{ x}\), to samo robimy z \(\displaystyle{ y}\).
Możemy też popatrzeć co to za krzywa licząc wyróżniki: duży i mały.
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 19 razy
Re: Środek symetrii krzywej
Z obliczeń wyszło mi, że powyższa krzywa jest hiperbolą. Jaki z tego wniosek mogę wysunąć ? Tylko tyle, że ma środek symetrii ?
A jesli już sprowadzę do kanonicznej, to jak wyznaczyć środek symetrii ?
A jesli już sprowadzę do kanonicznej, to jak wyznaczyć środek symetrii ?
Re: Środek symetrii krzywej
Narysuj hiperbolę wraz z asymptotami. Piszę to nieprzypadkowo.
Przykładowo: jeśli dochodzimy do równania typu \(\displaystyle{ (x+2y-1)^2-(2x-3y+2)^2=1}\), to wprowadzamy nowe współrzędne \(\displaystyle{ u=x+2y-1}\) oraz \(\displaystyle{ v=2x-3y+2}\) i w nich asymptoty mają równania \(\displaystyle{ u=\pm v}\). Wystarczy powrócić do współrzędnych \(\displaystyle{ x,y}\) i mamy asymptoty tamtej hiperboli.
Przykładowo: jeśli dochodzimy do równania typu \(\displaystyle{ (x+2y-1)^2-(2x-3y+2)^2=1}\), to wprowadzamy nowe współrzędne \(\displaystyle{ u=x+2y-1}\) oraz \(\displaystyle{ v=2x-3y+2}\) i w nich asymptoty mają równania \(\displaystyle{ u=\pm v}\). Wystarczy powrócić do współrzędnych \(\displaystyle{ x,y}\) i mamy asymptoty tamtej hiperboli.
Ostatnio zmieniony 27 maja 2017, o 22:17 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 19 razy
Re: Środek symetrii krzywej
A nie ma jakiegoś typowo algebraicznego sposobu na wyznaczenie środka symetrii ?
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 19 razy
Re: Środek symetrii krzywej
Rozumiem, dziękuję
Mam jeszcze pytanie odnośnie zamiany na postać kananiczną krzywej 2-go stopnia, która ma kształt paraboliczny.
Np:
\(\displaystyle{ x^{2}-4xy+4y^{2}+4x-3y-7}\)
Mam jeszcze pytanie odnośnie zamiany na postać kananiczną krzywej 2-go stopnia, która ma kształt paraboliczny.
Np:
\(\displaystyle{ x^{2}-4xy+4y^{2}+4x-3y-7}\)
Re: Środek symetrii krzywej
Robimy to identycznie. Po prostu zostanie jakieś wyrażenie liniowe po redukcji kwadratów.
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 19 razy
Re: Środek symetrii krzywej
\(\displaystyle{ (x-2y)^{2}+4x-3y-7=0}\)
I czy można powiedzieć, że to już jest ta postać ?
I czy można powiedzieć, że to już jest ta postać ?