Równanie stycznej do okręgu.

[Kasden45]

Witam, od kilkudziesięciu minut głowię się nad przykładem z wyznaczania stycznej do okręgu.
Okrąg ma równanie \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2}= 9}\) i prosta l, która ma być styczna do okręgu przechodzi przez punkt G=(5,4).
Wiem, że środek okręgu to punkt P=(0,0), odległość d - środka od stycznej jest równa promieniowi czyli - d=3. Podstawiam pod wzór \(\displaystyle{ \frac{\left| Ax _{p}+By _{p}+C \right| }{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\). Ostatecznie wychodzi mi wynik a =\(\displaystyle{ \frac{-5-3 \sqrt{2} }{4} \vee \frac{-5+3 \sqrt{2} }{4}}\) co prowadzi do dość dziwnych równań prostych, proszę o pomoc.

[a4karo]

Niestety z tego co piszesz mało wynika. Przede wszystkim masz konflikt oznaczeń : \(\displaystyle{ A}\) oznacza zarówno punkt jak i współczynnik w równaniu płaszczyzny. Poza tym nie wiadomo czym jest \(\displaystyle{ x_0,y_0}\)

[Kasden45]

\(\displaystyle{ x _{0} i y _{0}}\) to współrzędne punktu Środka okręgu czyli w tym przypadku oba równe są zero (źle to oznaczyłem, już edytuję) równe są zero, jak rozumiem. A nazwę punktu mogę zmienić na dowolny inny, to o niego chodzi w równaniu. Interesuje mnie poprawne odpowiedź do tego zadania, z ewentualnym tłumaczeniem kolejnych kroków.

[MrCommando]

Równania tych stycznych to \(\displaystyle{ y=\frac{5+3\sqrt{2}}{4}(x-5)+4}\) oraz \(\displaystyle{ y=\frac{5-3\sqrt{2}}{4}(x-5)+4}\).

Równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ \left( 5,4\right)}\) to \(\displaystyle{ y=a(x-5)+4}\). Pozostaje dobrać takie \(\displaystyle{ a}\), aby układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=9 \\ y=a(x-5)+4 \end{cases}}\) miał dokładnie jedno rozwiązanie (tzn. aby prosta miała dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem).

W razie gdy wychodzą takie niefajne pierwiastki i nie jesteś pewien, czy wyszedł Ci dobry wynik, zawsze możesz sprawdzić w GeoGebrze, czy znalezione proste są istotnie stycznymi do tego okręgu.