Matematyka.pl

Zadanie1
Oblicz kąt miedzy wektorami
\(\displaystyle{ \vec{p}=6\vec{m}+4\vec{n}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}=2\vec{m}+10\vec{n}}\), jeżeli wiadomo, że \(\displaystyle{ \vec{m},\vec{n}}\) są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi
Zadanie 2
Oblicz kąt miedzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{p},\vec{q}}\) jeżeli wiadomo, że wektory
\(\displaystyle{ \vec{a}=2\vec{p}+\vec{q}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}=-4\vec{p}+5\vec{q}}\) są wzajemnie prostopadłe oraz \(\displaystyle{ |\vec{p}|=|\vec{q}|}\)

W obu zadaniach wykorzystamy wzór na iloczyn skalarny wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}|\cdot|\vec{y}|\cdot\cos\alpha}\)
stąd wynika, że:
\(\displaystyle{ \vec{x}\cdot\vec{x}=|\vec{x}|^2 \ \hbox{(=1 dla wektora jednostkowego)} \\
\vec{x}\cdot\vec{y}=0 \ \hbox{dla x i y prostopadlych}}\)

1.
\(\displaystyle{ \vec{p}\cdot\vec{q}=(6\vec{m}+4\vec{n})\cdot(2\vec{m}+10\vec{n})=12|\vec{m}|^2+68\vec{m}\cdot\vec{n}+40|\vec{n}|^2=12+40=52}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ |\vec{p}|=|6\vec{m}+4\vec{n}|=2\sqrt{13} \\
|\vec{q}|=|2\vec{m}+10\vec{n}|=2\sqrt{26}}\)
Zatem skoro \(\displaystyle{ \vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|\cdot\cos\alpha}\) to:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{13}\cdot2\sqrt{26}\cos\alpha=52 \\
52\sqrt{2}\cos\alpha=52 \\
\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\pi}{4}}\)

Drugie zadanie rozwiązujesz podobnie, ponieważ \(\displaystyle{ a=|\vec{p}=a\vec{m}|=|\vec{q}=a\vec{n}|}\) się skróci w obliczeniach (kąt nie zależy od długości wektorów).

prosze o ropisanie tego drugiego zadanka poniewaz ja się wogóle nieoriętuję w tym temacie