Mając okrąg i prostą wyznacz kolejny okrąg styczny do tych.

[Xiaos]

Witam, mamy takie zadanie:

Dany jest okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^2 + y^2=8}\) i prosta \(\displaystyle{ y=-x+8}\)
Napisz równanie okręgu o najmniejszym promieniu stycznego jednocześnie do danego okręgu i danej prostej.

Wykres:

Mamy znaleźć okrąg z najmniejszym promieniem, więc obstawiam, że jest on pomiędzy prostą a okręgiem.

Zatem, odległość środka pierwszego okręgu \(\displaystyle{ (0,0)}\) od prostej \(\displaystyle{ y=-x+8}\) daje nam 2*promień szukanego okręgu.

Ze wzoru na odległość punktu od prostej wychodzi \(\displaystyle{ 4 \sqrt{2}}\).

Zatem promien \(\displaystyle{ \Rightarrow \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}}\) (tak dodatkowo dodam, że \(\displaystyle{ 2\sqrt{2} = \sqrt{8}}\) czyli promień okręgu który dostaliśmy)

Żeby otrzymać styczne musimy przyrównać wzór szukanego okręgu do prostej i okręgu który mamy, lecz jak go zapisać? Może jakieś przesunięcie okręgu \(\displaystyle{ x^2 + y^2=8}\) na środek odcinka pomiędzy \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ y=-x+8}\)?

\(\displaystyle{ (x-q)^2 + (y-b)^2 = 2\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ y=-x+8}\)?

[kruszewski]

Podpowiedź obrazkiem:

Ukryta treść:    

Środki obu okręgów, danego i szukanego, przynależą do prostej normalnej (prostopadłej) do prostej danej równaniem. Współrzędne punktów wspólnych prostej normalnej do prostej danej równaniem z danymi:okręgiem i prostą są łatwe do znalezienia, zatem i środek oraz promień szukanego okręgu.