Okrąg i dwie proste - pytanie co do mojego rozwiązania.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Sinnley
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 16 gru 2014, o 16:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy

Okrąg i dwie proste - pytanie co do mojego rozwiązania.

Post autor: Sinnley »

Rozwiązywałem następujące zadanie:
Proste o równaniach \(\displaystyle{ y = x + 3}\), \(\displaystyle{ y = 2x + 5}\) zawierają średnice okręgu o, do którego należy punkt \(\displaystyle{ P = (3,2)}\). Znajdź równanie okręgu o.

Zadanie łatwo zrobić tak, że przyrówna się proste do siebie i znajdzie punkt przecięcia, czyli środek okręgu, a potem już promień z odległości środka od punktu P, ALE...

Chciałem zobaczyć co jak zrobi się to trochę naokoło i zrobiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ f(a) = a + 3}\)
\(\displaystyle{ g(a) = 2a + 5}\)

Jeden z punktów na obu prostych to środek, więc równanie okręgu można zapisać:

\(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y -a - 3)^2 = r^2}\)
lub
\(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y -2a - 5)^2 = r^2}\)

Ale wiemy, że do okręgu należy punkt P, więc równania można zapisać:

\(\displaystyle{ (3 - a)^2 + (2 - a - 3)^2 = r^2}\)
lub
\(\displaystyle{ (3 - a)^2 + (2 - 2a - 5)^2 = r^2}\)

Tutaj przyrównałem do siebie, oba równania, myślałem, że dostane równanie kwadratowe z deltą równą zero, która wskaże środek okręgu, ale dostałem delte dodatnią i dwa rozwiązania.

Jednym z nich było \(\displaystyle{ a = -2}\), które to jest wynikiem, który dostaniemy po przyrównaniu do siebie prostych, a drugim \(\displaystyle{ a = - \frac{4}{3}}\)

Pytanie brzmi, czy gdzieś się pomyliłem w rozumowaniu lub obliczaniach? Dlaczego dostałem dwa wyniki? Przecież dwie proste przecinają się w tylko jednym punkcie.
Ostatnio zmieniony 1 kwie 2017, o 22:12 przez Sinnley, łącznie zmieniany 2 razy.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Okrąg i dwie proste - pytanie co do mojego rozwiązania.

Post autor: piasek101 »

Sinnley pisze:Rozwiązywałem następujące zadanie:
Proste o równaniach \(\displaystyle{ y = x + 3}\), \(\displaystyle{ y = 2x + 5}\) zawierają średnicę okręgu o, do którego należy punkt \(\displaystyle{ P = (3,2)}\). Znajdź równanie okręgu o.

Zadanie łatwo zrobić tak, że przyrówna się proste do siebie i znajdzie punkt przecięcia, czyli środek okręgu,
Popraw treść bo nie wiadomo o jakim rozwiązaniu piszesz.
Sinnley
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 16 gru 2014, o 16:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 17 razy

Okrąg i dwie proste - pytanie co do mojego rozwiązania.

Post autor: Sinnley »

piasek101 pisze:
Sinnley pisze:Rozwiązywałem następujące zadanie:
Proste o równaniach \(\displaystyle{ y = x + 3}\), \(\displaystyle{ y = 2x + 5}\) zawierają średnicę okręgu o, do którego należy punkt \(\displaystyle{ P = (3,2)}\). Znajdź równanie okręgu o.

Zadanie łatwo zrobić tak, że przyrówna się proste do siebie i znajdzie punkt przecięcia, czyli środek okręgu,
Popraw treść bo nie wiadomo o jakim rozwiązaniu piszesz.
Nie rozumiem. Całe rozwiązanie zaprezentowałem poniżej. A pytam o to dlaczego wychodzą mi dwa punkty zamiast jednego.
Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Okrąg i dwie proste - pytanie co do mojego rozwiązania.

Post autor: Rafsaf »

\(\displaystyle{ f(a) = a + 3 \\
g(a) = 2a + 5}\)


Jeśli byś chciał iść tą drogą, to z założeń zadania musisz dać \(\displaystyle{ f(a)=g(a)}\)

\(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y -a - 3)^2 = r^2 \\
(x-a)^2 + (y -2a - 5)^2 = r^2}\)


Bo jeśli nie zrobisz założenia, to niekoniecznie tylko w punkcie przecięcia te proste spełnią te warunki:

\(\displaystyle{ (y -a - 3)^2=(y -2a - 5)^2 \Leftrightarrow \\
y-a-3=y-2a-5 \\
\vee \\
y-a-3=-y+2a+5}\)


Hmm chodzi Ci pewnie jak to uzasadnić "logicznie". Proponuję narysować sobie to porządnie te proste z zadania i punkt P, a jak to zrobisz, to poprowadzić prostą poziomą przez punkt \(\displaystyle{ 2}\) oraz pionową przez punkt \(\displaystyle{ -\frac{4}{3}}\) Czym jest \(\displaystyle{ R}\) w takim razie? Przeciwprostokątną pewnego trójkąta prostokątnego. Zauważ że odległość w poziomie od pkt P dla \(\displaystyle{ f(a)}\) i \(\displaystyle{ g(a)}\) jest ta sama, bo mają pierwszą współrzędną tę samą. A co z odległością w pionie?? Jest ta sama, tyle że jedna "wyżej" punktu P a druga "niżej"(po to rysować tę proste poziome i pionowe by dobrze widzieć)

Bo jeżeli bok np. \(\displaystyle{ a}\) trójkąta prostokątnego jest stały(tutaj dodatni), to niekoniecznie bok np. bok \(\displaystyle{ b}\) też musi być na plusie lub minusie(mówię o ukł. wsp.), a wynik R w obu przypadkach jest stały, stąd otrzymałeś dwa wyniki.

Coś mi się wydaję, że słabo tłumaczę, najlepiej zawsze narysować skoro się da ;p
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Okrąg i dwie proste - pytanie co do mojego rozwiązania.

Post autor: piasek101 »

Sinnley pisze:Rozwiązywałem następujące zadanie:
Proste o równaniach \(\displaystyle{ y = x + 3}\), \(\displaystyle{ y = 2x + 5}\) zawierają średnice
Ręczę, że o ,,średnicy" nic w zadaniu nie było.
ODPOWIEDZ