prosta równoległa do płaszczyzny

[muchomorka]

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(1, 0, 1)}\), równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ 3x - 2y - 3z +3 = 0}\), przecinającą prostą \(\displaystyle{ \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{2}}\).

Proszę o pomoc, bo w poniedziałek kolokwium, a ja się LaTeX-a uczę

\(\displaystyle{ \vec{n} = [3, -2, -3]}\)

i nie wiem, od czego zacząć...

[kerajs]

Robiłbym tak:
1. Znalazłbym równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A i równoległej do płaszczyzny podanej w zadaniu.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 3x-2y+3z=0}\)

2. Poszukałbym punktu B przebicia płaszczyzny wyznaczonej w 1) przez prostą podaną w zadaniu

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ B=\left( \frac{28}{13} , \frac{9}{13}, \frac{-22}{13} \right)}\)

3. Szukana prosta przechodzi przez A i B. Należy napisać jej równanie.

Ukryta treść:    

np:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{\frac{15}{13}} = \frac{y}{\frac{9}{13}} = \frac{z-1}{\frac{-35}{13}}}\)

[muchomorka]

Ja już nic nie rozumiem

Punkt pierwszy robiłam wg innego przykładu, który jest gdzieś tu na forum i mi wyszło:
\(\displaystyle{ 3x - 2y - 3z - 22 = 0}\)

A tu widzę, że to po prostu wektor normalny pomnoży przez punkt \(\displaystyle{ A}\)... Chociaż w takim przypadku nie rozumiem, czemu jest \(\displaystyle{ +3z}\), a nie \(\displaystyle{ -3z}\).

[kerajs]

Ot, zwykła literówka która wpłynęła na kolejne wyniki. Sorry.
Początkowo napisałem ten post bez odpowiedzi, które dopiero później dopisałem.

1) Płaszczyzna równoległa do \(\displaystyle{ 3x-2y-3z+3=0}\) to \(\displaystyle{ 3x-2y-3z+D=0}\)
Skoro przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (1,0,1)}\) to zachodzi
\(\displaystyle{ 3 \cdot 1-2 \cdot 0-3 \cdot 1+D=0\\
3-0-3+D=0\\
D=0}\)
Szukana płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ 3x-2y-3z=0}\)

2) Aby znaleźć punkt B można rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2y-3z=0\\ \frac{x-2}{1}=t \\ \frac{y-1}{-2}=t \\ \frac{z+2}{2}=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2y-3z=0\\ x=t+2 \\ y=-2t+1 \\ z=2t -2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 3(t+2)-2(-2t+1)-3(2t-2)=0\\
3t+6+4t-2-6t+6=0\\
t=-10}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t=-10 \\ x=-8 \\ y=21 \\ z=-22 \end{cases}}\)

Ukryta treść:    

Przedtem gdy miałem:
\(\displaystyle{ 3(t+2)-2(-2t+1)+3(2t-2)=0\\
3t+6+4t-2+6t-6=0\\
13t=2}\)
to wychodziło:
\(\displaystyle{ t= \frac{13}{2}}\)
i oczywiście inny punkt B.

3) zrób samodzielnie. (Wynik będzie inny niż sugerowałem).

[muchomorka]

3) \(\displaystyle{ \begin{cases} x = -9u +1 \\ y = 21u \\ z = -23u +1 \end {cases}}\)

Wydaje mi się, że równanie parametryczne będzie tak, ale za to nie wiem, jak z tego zrobić równanie kanoniczne, a pan profesor lubi zaznaczyć szczegółowo, o co mu chodzi, żeby sprawdzić, czy znamy nazewnictwo

Ogólnie bardzo dziękuję za to rozpisanie. Cały dzień liczę tego typu zadanka i jestem jakaś odporna na wiedzę... A to podstawiania z parametrem t chyba najczęściej się powtarzało. Mam nadzieję, że jak się prześpię z tym, to zacznę więcej ogarniać.

[kerajs]

Równanie kanoniczne (proporcja podwójna) prostej to:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_0}{x_k}= \frac{y-y_0}{y_k}= \frac{z-z_0}{z_k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) to punkt zaczepienia prostej, a jej wektor kierunkowy to:
\(\displaystyle{ \vec{k}= \left[ x_k, y_k, z_k \right]}\)

Ty masz:
\(\displaystyle{ A=(1,0,1) \ , \ \vec{k}= \vec{AB}=\left[ -9,21,-23\right]}\)
więc równanie kanoniczne to:\(\displaystyle{ \frac{x-1}{-9}= \frac{y}{21}= \frac{z-1}{-23}}\)
to samo uzyskasz jak porównasz \(\displaystyle{ u}\) wyliczone z każdego równania z postaci parametrycznej.

Nie dziw się jeśli ktoś będzie miał inny wynik. Mógł on przyjąć inny punkt zaczepienia (np. punkt B, środek odcinka AB, itp) i/lub inny wektor kierunkowy (np: wektor BA, unormowany AB, itp)

[a4karo]

Nie dziw się jeśli ktoś będzie miał inny wynik. Mógł on przyjąć inny punkt zaczepienia (np. punkt B, środek odcinka AB, itp) i/lub inny wektor kierunkowy (np: wektor BA, unormowany AB, itp)

Jeśli ktoś będzie miał inny wynik, to niedobrze, bo taka prosta jest tylko jedna, więc wynik powinien być taki sam. Natomiast może on wyglądać inaczej, bo tę samą prostą można opisać na nieskończenie wiele sposobów.

[muchomorka]

Dzięki za wyjaśnienie tych "różnych" wyników, bo oczywiście mam podany inny wektor kierunkowy i nie widząc żadnej proporcji, byłam zaniepokojona

Jakoś w tygodniu zrobię jeszcze jedno takie zadanie i wrzucę tu, jakby ktoś mógł sprawdzić, czy nie robię błędów