W oryginale jest to zadanie zamknięte z czterema możliwymi odpowiedziami, ale chciałbym po prostu się dowiedzieć, jak je zrobić "po bożemu".Wyznaczyć parametr \(\displaystyle{ p}\), dla którego pole trójkąta ograniczonego prostymi o równaniach \(\displaystyle{ y = px}\), \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x+3}\), \(\displaystyle{ y=-x+9}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\).
Pole trójkąta ograniczonego prostymi z parametrem
-
Marcoral
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 20 lis 2016, o 22:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Pole trójkąta ograniczonego prostymi z parametrem
Witam. Potrzebuję pomocy z następującym zadaniem:
-
Marcoral
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 20 lis 2016, o 22:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Pole trójkąta ograniczonego prostymi z parametrem
W oryginale mam podane cztery przedziały parametru jako możliwe odpowiedzi. Odrobinę przeredagowałem polecenie, ale istota jest ta sama - po prostu chciałbym dowiedzieć się, jak do tych odpowiedzi dojść samemu, zamiast po kolei podstawiać i liczyć.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Pole trójkąta ograniczonego prostymi z parametrem
Aby istniał trójkąt ograniczony prostymi o danych równaniach - prosta o równaniu \(\displaystyle{ y = px}\) musi przechodzić przez II i IV ćwiartkę prostokątnego układu współrzędnych (wykonaj rysunek).
Znajdujemy współrzędne wierzchołków trójkąta, jako punktów przecięcia prostych zawierających jego boki.
\(\displaystyle{ A: \left\{ \begin{matrix} y = px \\ y = \frac{1}{2}x +3 \end{matrix}\right.}\)
\(\displaystyle{ A= \left(\frac{6}{2p -1}, \frac{6p}{2p-1} \right).}\)
\(\displaystyle{ B: \left\{ \begin{matrix} y = px \\ y = -x +9 \end{matrix}\right.}\)
\(\displaystyle{ B = \left(\frac{9}{p +1}, \frac{9p}{p+1} \right).}\).
\(\displaystyle{ C: \left\{ \begin{matrix} y = \frac{1}{2}x +3 \\ y = -x +9 \end{matrix}\right.}\)
\(\displaystyle{ C = (4, 5).}\)
\(\displaystyle{ (A\in II )\leftrightarrow ( \frac{6}{2p -1}<0 \wedge \frac{6p}{2p-1}>0)}\) (1)
i
\(\displaystyle{ (B\in IV )\leftrightarrow ( \frac{9}{p +1}>0 \wedge \frac{9p}{p+1}<0)}\) (2)
Rozwiązując układy nierówności (1), (2) - otrzymujemy \(\displaystyle{ -1 < p < 0.}\)
Wypadałoby znaleźć wartość liczbową parametru \(\displaystyle{ p}\) dla której pole trójkąta rozpiętego na przykład na wektorach \(\displaystyle{ \vec{AB}, \ \ \vec{AC}}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{2}.}\)
Znajdujemy współrzędne wierzchołków trójkąta, jako punktów przecięcia prostych zawierających jego boki.
\(\displaystyle{ A: \left\{ \begin{matrix} y = px \\ y = \frac{1}{2}x +3 \end{matrix}\right.}\)
\(\displaystyle{ A= \left(\frac{6}{2p -1}, \frac{6p}{2p-1} \right).}\)
\(\displaystyle{ B: \left\{ \begin{matrix} y = px \\ y = -x +9 \end{matrix}\right.}\)
\(\displaystyle{ B = \left(\frac{9}{p +1}, \frac{9p}{p+1} \right).}\).
\(\displaystyle{ C: \left\{ \begin{matrix} y = \frac{1}{2}x +3 \\ y = -x +9 \end{matrix}\right.}\)
\(\displaystyle{ C = (4, 5).}\)
\(\displaystyle{ (A\in II )\leftrightarrow ( \frac{6}{2p -1}<0 \wedge \frac{6p}{2p-1}>0)}\) (1)
i
\(\displaystyle{ (B\in IV )\leftrightarrow ( \frac{9}{p +1}>0 \wedge \frac{9p}{p+1}<0)}\) (2)
Rozwiązując układy nierówności (1), (2) - otrzymujemy \(\displaystyle{ -1 < p < 0.}\)
Wypadałoby znaleźć wartość liczbową parametru \(\displaystyle{ p}\) dla której pole trójkąta rozpiętego na przykład na wektorach \(\displaystyle{ \vec{AB}, \ \ \vec{AC}}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{2}.}\)