Odległość między przekątnymi ścian sześcianu.

[nicrovishion]

Dany jest sześcian \(\displaystyle{ ABCDA'B'C'D'}\) o boku długości \(\displaystyle{ a}\). Oblicz odległość między przekątnymi \(\displaystyle{ A'D}\) i \(\displaystyle{ AC}\).
Chciałbym tylko nadmienić, że jestem uczniem liceum i z geometrią analityczną w przestrzeni nie miałem w szkole do czynienia. Jestem świadomy, że skoro jest to zadanie maturalne to można je rozwiązać prostszą metodą, ja jednak chciałbym spróbować czegoś ponadprogramowego. Dziękuję za wszystkie sugestie i pomoc.
A więc postanowiłem wyznaczyć równanie płaszczyzny dolnej podstawy sześcianu (\(\displaystyle{ ABCD}\)). I tak:
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{BC} = [0, -a^{2}, 0]}\)

Ze wzoru \(\displaystyle{ A(x- x_{0}) + B(y- y_{0}) + C(z- z_{0}) = 0}\) wyznaczyłem równanie płaszczyzny: \(\displaystyle{ -a^{2}y = 0}\)

Następnie równanie prostej \(\displaystyle{ A'D: z = -y + a}\)

Odległość punktu od prostej: \(\displaystyle{ d= \frac{\left| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D\right| }{
\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2} } } = y}\)

Plan miałem taki, aby wyznaczyć wartość minimalną funkcji długości odcinka między punktem prostej \(\displaystyle{ A'D}\), no ale nie wyszło... Gdzie robię błąd?

Chciałbym zaznaczyć, że nie muszę tego rozwiązywać koniecznie taką metodą - chciałbym jednak pobawić się geometrią analityczną w 3D.

Pozdrawiam

[a4karo]

Napisz równania parametryczne dwóch prostych zawierających te przekatne i policz kwadrat odległosci dwóch punktów. dostaniesz funkcje dwóch zmiennych, której minimum wyznacza sie łatwo.

[nicrovishion]

Funkcji dwóch zmiennych nie miałem w szkole, nie ma prostszej metody?

[a4karo]

Ale spróbuj, może się to okazac całkiem łatwym ćwiczeniem

[nicrovishion]

Wyliczyłem punkty stacjonarne (a w zasadzie punkt): \(\displaystyle{ P( \frac{a}{3}, \frac{a}{3})}\). Pochodne cząstkowe drugiego rzędu wynoszą 4. Jest sens brnąć w to dalej, czy już na tym etapie możemy stwierdzić, że skoro kwadrat odległości minimalnej przyjmowany jest dla \(\displaystyle{ \frac{a}{3}}\), to odległość minimalna wynosi jest wartością pierwiastka wyliczonej funkcji w tym punkcie \(\displaystyle{ \sqrt{F( \frac{a}{3}, \frac{a}{3} )}}\)?

Sposób jak dla mnie jednak trochę na wyrost, a po drugie tak jak pisałem chodziło mi raczej o przećwiczenie geometrii analitycznej w trzech wymiarach - na pochodne funkcji wielu zmiennych przyjdzie jeszcze czas . W każdym razie bardzo dziękuję za pomoc, czekam jednak na sugestie jak to rozwiązać w sposób mnie interesujący.

[a4karo]

Masz jedno ekstremum. Jak punkty uciekają do nieskończoności, to odległośc też. Ergo: znaleziony punkt jest minimum.

Fajnie, że przerobiłes temat o ekstremach funkcji wielu zmiennych. Czy możesz tę funkcję tu napisać?

[nicrovishion]

prosta \(\displaystyle{ A'D: z = a - y}\)
prosta \(\displaystyle{ AC: z = x}\)
\(\displaystyle{ d(x,y)= \sqrt{ (0-x)^{2} + (y-0)^{2} + (a-y-x)^{2} } = \sqrt{2x ^{2} + 2y ^{2} + 2xy - 2ax - 2ay + a^2}}\)
\(\displaystyle{ F(x) = 2x ^{2} + 2y ^{2} + 2xy - 2ax - 2ay + a^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x} = 4x + 2y - 2a}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y} = 2x + 4y - 2a}\)

Fajnie, że przerobiłes temat o ekstremach funkcji wielu zmiennych.

Również się cieszę, że chociaż trochę udało się temat 'liznąć'. Do sprawności obliczeniowej jednak jeszcze daleko.

@edit
Co w przypadku, gdy mamy kilka punktów stacjonarnych? Rozumiem, że powinniśmy przeprowadzić przebieg zmienności pochodnej (lub chociaż jej poglądowy szkic), tak?

[a4karo]

\(\displaystyle{ F(x,y)=(x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2-a^2}\). Przy założeniu \(\displaystyle{ 0<x,y<a}\) mamy

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{(x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2}{3}}\geq \frac{(x+y)+(a-x)+(a-y)}{3}=\frac{2a}{3}}\)
(toz nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną, z równością wtedy, gdy wszystkie trzy liczby są równe.

Obeszło sie więc bez liczenia pochodnych.

Dla punktów stacjonarnych funkcji dwóch zmiennych liczy się wyznacznik
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}\\\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}&\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}\end{vmatrix}}\)

Jak jest większy od zera, to jest ekstremum, jak mniejszy, to nie ma, Jak jest zero, to trzeba stosować trochę subtelniejsze metody.

[nicrovishion]

Odpowiedź w zbiorze jest zgodna z moją: \(\displaystyle{ d = \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
Czy w drugim zapisie nie zgubił Pan czynnika \(\displaystyle{ -a ^{2}}\)?

@edit
Dobra, chyba łapię. Skoro wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{(x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2}{3}}}\) jest większe lub równe \(\displaystyle{ \frac{2a}{3}}\), to po podniesieniu do kwadratu i pomnożeniu razy 3 otrzymujemy \(\displaystyle{ (x+y)^2+(a-x)^2+(a-y)^2 \ge \frac{4a ^{2} }{3}}\), reszta to już oczywista oczywistość.

@edit_2
Żeby było śmieszniej, program nierówności między średnimi również nie obejmuje . Na szczęście jest to na tyle elementarne zagadnienie, że zdążyłem się z nim już wcześniej zapoznać. Przydatna rzecz .